微积分 第一章 函数的极限与连续

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摘要

第一章 函数极限与连续
一、教学目标与基本要求:
1、理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像,掌握函数的表示方法。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、会建立简单应用问题中的函数关系式。
6、理解极限的概念,理解函数在极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7、掌握极限的性质及四则运算法则。
8、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
10、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。
二、教学内容的重点及难点:
1.数列的极限、函数的极限的概念
2.极限的性质及四则运算法则;
3.极限存在的两个准则,利用两个重要极限求极限;
4.无穷小的比较,用等价无穷小求极限;
5.闭区间上连续函数的性质。
三、教学内容的深化和拓宽:
1.数列极限的的深刻背景,函数极限的几何意义;
2.两个重要极限、等价无穷小的应用;
3.极限与无穷小的关系;
4.连续的实质,闭区间上连续函数的性质,用介值定理推证一些简单命题。

§1.1 函 数
一、内容要点
基本概念
集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.
函数的概念
函数的特性:有界性,单调性,奇偶性,周期性.
反函数,复合函数,基本初等函数与初等函数
二、教学要求和注意点
本部分属基本概念,对其中的每一个定义都应加以仔细推敲,透彻理解和牢固其精神实质,从而为学习本课程奠定好基础。
从实际问题建立变量之间的关系是数学应用与实际问题的第一步,也是比较困难的一步,要注意这方面的训练,以便逐步培养分析问题解决问题的能力。

一、 集合、常量与变量
1、集合:集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C„„等来表示,组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素,就记aM(读a属于M);若事物a不是集合M的一个元素,就记aM或aM(读a不属于M);集合有时也简称为集。
注 1:若一集合只有有限个元素,就称为有限集;否则称为无限集。
2:集合的表示方法:
可用列举出其全体元素的方法来表示,如:A{1,2,3,,(i)、若集合为有限集,就鸡};10},B{一只猫,一只狗,一只
元素的规律,也可类似写出,如:A{1,2,3,}为全体自(ii)、对无限集,若知道其
然数集,B{2,4,6,}为全体偶数集;枚举法(iii)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合,若知其元素有某种性质,那么该集},即:有此性质的必在A中,且A中的元素必合可表示为:A{xx所具有的某种性质
A{xx35×27x30};B{xx为我校的学生};C{(x,y)须有此性质。如:
(x,y)在D中}等。
3:全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4:集合间的基本关系:若集合A的元素都是集合B的元素,即若有xA,必有xB,就称A为B的子集,记为AB,或BA(读B包含A)。
显然:NZQR.
若AB,同时BA,就称A、B相等,记为A=B。
5:当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如:{1,2,2,3}={1,2,3}。
2x 6:不含任何元素的集称为空集,记为,如:{xx10,xR}=,{x:21}=,空集是
任何集合的子集,即A。
7:区间:所有大于a、小于b(a<b)的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)={xaxb} 。
同理:[a,b]={xaxb}为闭区间,a,b{xaxb}和a,b{xaxb}分别称为左闭右开、左开右闭的区间,统称为半开区间。
以上均成为有限区间,a、b分别称为左、右端点。
对无穷区间有:,b{xxb},(a,){xax},(,){xx}R, 在不特别要求下,有限区间、无限区间统称为区间,用I表示。
8:邻域:设a和为两个实数,且0.集合{xxa}称为点a的邻域,记为U(a,),a为该邻域的中心,为该邻域的半径,事实上,
U(a,){xaxa}(a,a)。 同理:我们称U(a,){x0xa}为a的去心邻域,或a的空心邻域。
9:集合的内容很多,其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。
2、常量与变量:在自然科学中,我们会遇到各种不同的量,然而在观察这些量时,发现有着非常不同的状态,有的量在过程中不起变化,保持一定的数值,此量称为常量;又有些量有变化,可取各
种不同的数值,这种量称为变量。
【例】掷同一铅球数次,发现铅球的质量、体积为常量,而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。
注1:常量与变量是相对而言的,同一量在不同场合下,可能是常量,也可能是变量,如在一天或在一年中观察某小孩的身高;从小范围和大范围而言,重力加速度可是常量和变量,然而,一旦环境确定了,同一量不能既为常量又为变量,二者必居其一。
2:常量一般用a,b,c„„等字母表示,变量用x,y,u,t„„等字母表示,常量a为一定值,在数轴上可用定点表示,变量x代表该量可能取的任一值,在数轴上可用动点表示,如:x(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。

二、 函数的概念
【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为:Sx,显然当x确定了,S也就确定了。
这就是说,同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。
定义:设x和y为两个变量,,D为一个给定的数集,如果对每一个xD,按照一定的法则f变量y
总有确定的数值与之对应,就称y为x的函数,记为yf(x).数集D称为该函数的定义域,2x叫做自变量,y叫做因变量。
当x取数值x0D时,依法则f的对应值称为函数yf(x)在xx0时的函数值。所有函数值组成的集合W{yyf(x),xD}称为函数yf(x)的值域。
注 1:函数通常还可用yg(x),yF(x),su(t)等表示。
2:约定:函数的定义域就是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值的全体。
【例1】 ysinx的定义域为(,),值域为[1,1]。
【例2】 yx的定义域为[1,),值域为[0,)。
x2
1【例3】 y2
1x0x1x01x0
x的定义域为(,0)(0,),从而显然x的定义域为[1,1],值域为[0,2]。 【例4】 f(x)1的定义域为(,),h(x)
f(x)h(x)。
3、若对每一个xD,只有唯一的一个y与之对应,就称函数yf(x)为单值函数;若有不止
一个y与之对应,就称为多值函数。如:x2y21,×2y21等。以后若不特别声明,只讨论单值函数。
4、函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍,它是借助于数学式子来表示对应法则,上例均为解析法,注意例3的法则是:当自变量x在(0,1]上取值,其函数值为x;当x取0时,f(x)21;当x在[1,0)上取值时,其函数值为1x。(这种函数称为分段函数,在2
以后经常遇见,希望注意!)尽管有几个不同的算式,但它们合起来只表示一个函数!
5、对D中任一固定的x,依照法则有一个数y与之对应,以x为横坐标,y为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时,便得到一个点集C{(x,y)yf(x),xD},我们称之为函数yf(x)的图形。换言之,当x在D中变动时,点(x,y)的轨迹就是yf(x)的图形。
【例5】 书上的几个例子。(同学们自己看)
【例6】 例3的图形如下图

三、 函数的几种特性
1、 函数的有界性:设yf(x)在D上有定义,若对xD,M0,使得:f(x)M,就称f(x)在D上有界,否则称为无界。
注:1、若对xD,M,使得f(x)M(f(x)M),就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f(x)在D上同时有上界和下界。
2、f(x)在D上无界也可这样说:对M0,总x0D,使得f(x0)M。
【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的;例2中的函数是无界的,但有下界。

2、函数的单调性:设函数f(x)在区间I上有定义,若对x1、x2I,当x1x2时总有:
(1)f(x1)f(x2),就称f(x)在I上单调递增,特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时,就称f(x)在I上严格单调递增。
(2)f(x1)f(x2),就称f(x)在I上单调递减,特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时,就称f(x)在I上严格单调递减。
注:1、此处的定义与书上有区别,希望注意!
2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。
3、调递增有时简称单增、递增或不减,其它也一样。
【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数,但不严格单调。
【例9】 y1在(0,)上是严格单减函数。 x
【例10】 [例3]中的函数在定义域[1,1]上不是单调的,但在[1,0)上是严格单减的,在(0,1]上是严格单增的。

3、函数的奇偶性:设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集,即若xD,有xD,
(1) 若对xD,有f(x)f(x)恒成立,就称f(x)为偶函数。
(2) 若对xD,有f(x)f(x)恒成立,就称f(x)为奇函数。
【例11】 yx2,ycosx,yx,是偶函数,yx3,ysinx,ysgnx,是奇函数。
23 yxx,ycosxsinx是非奇非偶函数。
【例11】﹡ ylnx(x2)是奇函数。
注:1、偶函数的图形是关于y轴对称的,奇函数的图形是关于原点对称的。
2、若f(x)是奇函数,且0D,则必有f(0)0。
3、两偶函数和为偶函数;两奇函数和为奇函数;两偶函数的积为偶函数;两奇函数的积也为偶函数;一奇一偶的积为奇函数。
4、周期性:设函数f(x)的定义域为D,如果l0,使得对xD,有xlD,且f(xl)f(x)恒成立,就称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期。
【例12】 ysinx,ycosx,ytgx分别为周期为2,2,的周期函数,yx[x]为周期为1的函数。
注1:若l为f(x)的周期,由定义知2l,3l,4l也都是f(x)的周期,故周期函数有无穷多个周期,
通常说的周期是指最小正周期(基本周期),然而最小正周期未必都存在(为什么?)
例如:ysin2xcos2x1,设有最小正周期。
2:周期函数在一每个周期(akl,a(k1)l)(a为任意数,k为任意常数)上,有相同的形状。
四、 反函数
设f(x)的定义域为D,值域为W,因此,对yW,必xD,使得f(x)y,这样的x可能不止一个,若将y当作自变量,x当作因变量,按函数的概念,就得到一新函数x(y),称之为函数yf(x)的反函数,而f(x)叫做直接函数。
注1:反函数x(y)的定义域为W,值域为D;
2:由上讨论知,即使yf(x)为单值函数,其反函数却未必是单值函数,以后对此问题还作研究;
3:在习惯上往往用x表示自变量,y表示因变量,因此将x(y)中的x与y对换一下,yf(x)的反函数就变成y(x),事实上函数y(x)与x(y)是表示同一函数的,因为,表示函数关系的字母””没变,仅自变量与因变量的字母变了,这没什么关系。所以说:若yf(x)的反函数为x(y),那么y(x)也是yf(x)的反函数,且后者较常用;
4:反函数y(x)的图形与直接函数yf(x)的图形是对称于yx(证明很简单,大家自己看书);
5:有些书上,对反函数的定义与此不同,希加与之区别。
yb,xy,xy3或分别为【例13】 函数yaxb,yx,yx的反函数分别为:xa231
xby,yx,yx3。 a
五 初等函数
幂函数
形如yx(为常数)的函数叫做幂函数。
其定义域较为复杂,下作一些简单的讨论:
(1) 当为非负整数时,定义域为(,); 1
(2) 当为负整数时,定义域为(,0)(0,);
(3) 当为其它有理数时,要视情况而定。
【例1】 yx的定义域为(,); 1
3
yx,yx 的定义域为0,;
yx1
21234的定义域为(0,)。
(4) 当为无理数时,规定其定义域为(0,),其图形也很复杂,但不论取何值,图形总过(1,
1)点,当>0时,还过(0,0)点。

指数函数与对数函数
1、指数函数:形如yax(a0,a1)的函数称为指数函数,其定义域为(,),其图形总在x轴上方,且过(0,1)点,
(1)当a1时,yax是单调增加的;
(2)当0a1时,yax是单调减少的;
以后我们经常遇到这样一个指数函数yex,e的意义以后讲,其图形大致如下图所示,特别地,yax与yax关于y轴对称。

x2、对数函数:指数函数ya的反函数,记为ylogax(a为常数,a0,a1),称为对数函
x数,其定义域为(0,),由前面反函数的概念知:ya的图形和ylogax的图形是关于yx对
称的,从此,不难得ylogax的图形,
ylogax的图形总在y轴右方,且过(1,0)点
(1) 当a1时,ylogax单调递增,且在(0,1)为负,(1,)上为正;
(2) 当0a1时,ylogax单调递减,且在(0,1)为正,(1,) 上为负;
特别当a取e时,函数记为ylnx,称为自然对数函数。

三角函数与反三角函数
1、 三角函数
三角函数主要是:
正弦函数:ysinx
余弦函数:ycosx
正切函数:ytanx
余切函数:ycotxx(,) x(,) xn2n0,1,2, xnn0,1,2,
正弦函数和余弦函数均为周期为2的周期函数,正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数,余弦函数为偶函数;另外还有两个:正割ysecx11和余割ycscx,其图形在此不做讨论了。 cosxsinx
2、 反三角函数:
反三角函数是三角函数的反函数,它们分别为:
反正弦函数:yArcsinx
反余弦函数:yArccosx
反正切函数:yArctanx
反余切函数:yArccotxx[1,1] x[1,1] x(,) x(,)
显然反三角函数都是多值函数,单我们可选取其一个单值分支,叫做主值,选法如下:
将yArcsinx限制在[,]上,得一单值函数,记为yarcsinx,它就是所取主值函数,22
[,]叫做主值区间,显然arcsinx, 2222
同理:将yArccosx限制在[0,]上,得yarccosx
将yArctanx限制在[,]上,得yarctanx 22
将yArccotx限制在[0,]上,得yarccotx
从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的,arccosx和arccotx是单调递减的。
复合函数和初等函数
1、 复合函数
设yf(u),定义域为D1,u(x),定义域为D2,值域为W2,且W2D1,这样对于xD2,由u(x)可算出函数值uW2D1,所以uD1,由yf(u)又可算出其函数
值y,因此对于xD2,有确定的值y与之对应,从而得一个以x为自变量,y为因变量的函
u(x)为内函数复合成的复合函数,数,我们称之为以yf(u)为外函数,记为yf((x)),
其中u为中间变量。
【例1】 ysin2x就是yu2和usinx复合而成;
2 ycosx2就是ycosu和ux复合而成。
注1:并非任何两函数都可以复合的,
例如:yarcsinu和u2x不能复合;
y和u1x也不能复合。
2:复合可推广到三个或更多的函数上去,如: 22
ytan(lnx)2就是ytanu,uv2,vlnx复合成的。
3:在函数复合中,未必都有yf(u)、u(x)的形式,一般为yf(x)和yg(x),这时候就要注意哪个为外函数,哪个为内函数,从而复合后有yf(x)和yg(x)之分。

2、初等函数
我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数,称为初等函数。
【例2】 yx,y2,ysinx,ytan(lnx),y 本教材讨论的主要都是初等函数。

双曲函数和反双曲函数 x221sinx等都是初等函数。 1sinx
exex
双曲正弦:yshx2
exex
双曲余弦:ychx2
shxexex
x 双曲正切:ythxchxeex

反双曲正弦:yarshxln(xx(,) x(,) x(,) x21)x(,)
反双曲余弦:yarchxln(x
(多值函数yln(xx21)x[1,) x21)取“+”号为主值)
反双曲正切:yarthx11xln21xx(1,1)
由于这类以后用得较少,只要掌握上面的内容就行了,其它的此外不细讲了。

§1.2 数列的极限
一、内容要点
(1)数列,数列极限的定义;
(2)收敛的性质:极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子列的关系。
二、教学要求和注意点
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;
收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.
极限理论是高等数学的理论基础。极限概念比较抽象而且严谨,既是学习中的重点也
是学习中的难点。因此要逐字逐句地推敲务求领会它的精神实质。

主要内容:
定义:数列是定义在自然数集上的函数,记为xnf(n),n1,2,3,由于全体自然数可以从小到大排成一列,因此数列的对应值也可以排成一列:x1,x2,xn,这就是最常见的数列表现形式了,有时也简记为xn或数列xn。数列中的每一数称为数列的项,第n项xn称为一般项或通项。
【例1】 书上用圆内接正62n1边形的面积来近似代替该圆的面积时,得到数列
A1,A2,An, (多边形的面积数列)
【例2】长一尺的棒子,每天截去一半,无限制地进行下去,那么剩下部分的长构成一数列:11111,2,3,n, ,通项为n。 22222
1111,1,,(1)n1,; 【例3】1,,,;23n
34n12,,,,,; 2,4,6,,2n,;23n
1n1n1 都是数列,其通项分别为,(1),2n,。 nn
注:在数轴上,数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置,我们能否

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