高三数学三角函数一轮复习

  • A+
所属分类:教育文档
摘要

第六章 三角函数
1.了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切.
2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及运用. 3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明.
4.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和yAsin(x)的简图,理解A、、的物理意义.
5.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示角.
6.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.

三角部分的知识是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点:
1.降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查.尤其是三角函数的最大值与最小值、周期. 2.以小题为主.一般以选择题、填空题的形式出现,多数为基础题,难度属中档偏易.其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形,如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等.
3.更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它知识的综合,如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识.
一、角的概念的推广
1.与角终边相同的角的集合为.
2.与角终边互为反向延长线的角的集合为.
3.轴线角(终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角的集合为,终边在y轴上的角的集合为,终边在坐
标轴上的角的集合为 . 4.象限角是指: 5.区间角是指:
6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角,它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180º=弧度,1º= 弧度,1弧度=. 8.弧长公式:l =;扇形面积公式:S=.
第1课时 任意角的三角函数
二、任意角的三角函数
9.定义:设P(x, y)是角终边上任意一点,且 |PO| =r,则sin=; cos=tan= ; 10.三角函数的符号与角所在象限的关系:
y y y + + - + - +
O + - - - + -
sinx, cosx, tanx,
12
13.三角函数线:在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线.

例1. 若是第二象限的角,试分别确定2,
变式训练1:已知是第三象限角,问

是哪个象限的角? 3

,的终边所在位置. 23

例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角
的集合: (1)sin

13
;(2)cos≤.
22

变式训练2:求下列函数的定义域: (1)y=2cosx1;(2)y=lg(3-4sin2x).

例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值. 变式训练3:已知角的终边经过点P(
m)(m0),且sin值.
m,试判断角所在的象限,并求cos和tan的4
例4. 已知一扇形中心角为α,所在圆半径为R. (1) 若α

,R=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积; 3
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0),当α为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值.
变式训练4:扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求中心角的弧度数和弦长AB.
小结归纳
1.本节内容是三角函数的基础内容,也是后续结论的根源所在,要求掌握好:如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系.
2.在计算或化简三角函数的关系式时,常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论,因此,在解答这类题时首先要弄清:①角的范围是什么?②对应的三角函数值是正还是负?③与此相关的定义、性质或公式有哪些?
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.同角公式:
(1) 平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α=1+cot2α=(2) 商数关系:tanα=,cotα=(3) 倒数关系:tanα=1,sinα1,cotα1 2.诱导公式:

规律:奇变偶不变,符号看象限
3.同角三角函数的关系式的基本用途:
根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式. 4.诱导公式的作用:
0°~90º角的三角函数值. )=(1)化简f();
(2)若是第三象限角,且cos

31
,求f()的值. 25
sin()cos(2)tan()
;
tan()sin()
变式训练1:已知A=A.{-1, 1, -2, 2}
sin(k)cos(k)
(kZ)则A构成的集合是 ( )
sincos
B.{1, -1} C.{2, -2}
3
5
D.{-2, -1, 01, 2}
例2.求值:(1) 已知2,cos(7),求)的值.
2

2) 已知
tansin3cos
1,求下列各式的值.①;②sin2sincos2
tan1sincos
变式训练2:化简:① sin(5)tan
例3. 已知-

2
x0,sin x+cos x=
cos(8)
, ② sin()cos()
44sin(4)
1
. 5
(1)求sin x-cos x的值.
sin2x2sin2x
(2)求的值.
1tanx
变式训练3:已知sin +cos=,∈(0,).求值: (1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.
例4.已知tan=2,求下列各式的值:
2sin3cos2sin23cos222
(1);(2) ;(3)4sin-3sincos-5cos.
4sin9cos4sin9cos
1
5

变式训练4:已知sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).求:(1)
4sin2cos12
;(2)sin2+cos2.
5cos3sin45
1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例
1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义.
2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综合而灵活地选择方法.
第3课时 两角和与差的三角函数
1.两角和的余弦公式的推导方法: 2.基本公式
sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)=tan(α±β)=. 3.公式的变式
tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ) 1-tanα tanβ=
tantan

tan()
4.常见的角的变换: 2=(α+β)+(α-β);α=α=(α+β)-β =(α-β)+β

2(

2


2
=(α-

4

)-(-β); 22

4
x)(
x)=

2
例1.求[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]2sin280的值. 解:原式=2sin50sin101





sin102sin80
cos10
=(2sin50sin10
cos103sin10
)2sin80
cos10
1cos10sin10
2cos10 =2sin502sin10cos10

=2sin50
2sin10sin40
2cos10
cos10
=
2sin60
2cos1022sin60 cos10
=22
. 2
3
,),sin=,则tan()等于( )
524
11
A. B.7 C.- D.-7 77
变式训练1:(1)已知∈(
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( ) 311
B. C.- D.
2222
解:(1)A (2)B
A.-
例2. 已知α(解:∵α-α∈(
3
4,4
3353
,),β(0,),cos(α-)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值. 44451344
34
4
++β=α+β+
13
2

) β∈(0,1sinx1)
∴α-
33
∈(0,) β+∈(,π)
4424
∴sin(α-
3124
)= cos()=-
54413

2
∴sin(α+β)=-cos[=-cos[(α-
+(α+β)]
356)+()]=
6544
变式训练2:设cos(-求cos(+β). 解:∵

2
)=-
12ππ
,sin(-β)=,且<<π,0<β<, 93222
πππππ
<<π,0<β<,∴<α-<π,-<-β<. 2242422

2
故由cos(-由sin(
)=-
41
,得sin(α-)=.
992

2
-β)=
52
,得cos(-β)=.∴cos=cos[(-)-(-β)]
332222
=cos(

2
)cos(

2
)sin(

2
)sin(

12
)= 
2932
2392∴cos(+β)=2cos-
1=2-1=-. 7292
例3. 若sinA=
,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510
5,sinB=, 510
解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-sinA=-2
25
=-
2, 5
cosB=-sinB=-2
3=-
3, 10
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=
2×3-5=2 ① 5210105
又∵

<A<, <B<, 22
∴<A+B<2 由①②知,A+B=
7
. 4

变式训练3:在△ABC中,角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中,A+B+C=180°, 由4sin2得7AC
-cos2B=, 22
7AC
-cos2B=,求角B的度数. 22
1cos(AC)7
-2cos2B+1=, 22
所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.
例4.化简sin2·sin2+cos2cos2-1
cos2·cos2. 2
12
解 方法一 (复角→单角,从“角”入手) 原式=sin2·sin2+cos2·cos2-=sin2·sin2+cos2·cos2-1
·(2cos2-1)·(2cos2-1) 2
1
(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1) 2
1 2
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-111
=1-=. 222
1
2
方法二 (从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-=cos2-sin2 (cos2-sin2)-1
cos2·cos2 2
1
cos2·cos2 2
=cos2-sin2·cos2-
1
cos2·cos2 2
2

12
=cos2-cos2·sincos2

122
·sin(12sin) 2
1cos211=-cos2=.
222
=
1cos2
-cos22
方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式=
14
1cos21cos21cos21cos21
+-cos2·cos2
22222
111
(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=. 422
1
cos2·cos2 2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+
方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-=cos2(+)+=cos2(+)-=cos2(+)-
11
sin2·sin2-cos2·cos2 221·cos(2+2) 2
11·[2cos2(+)-1]=. 22


4

4


变式训练4:化简:(1)2sinx+cosx; 2cos21(2).
22tansin
44
解 (1)原式=2sin
2

1
3
xcosx 424


=22sinsinxcoscosx
6644


=22cosx=22cos(x-6
4


12
). =
cos2(1sin2)
1sin2
(2)原式=
cos2
1tan
1cos2
1tan2
=1.
1.三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型,三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异,进而消
除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异,找出特征,从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系,要充分应用角的恒等变换,以整体角来处理和解决有关问题,这样可以避免一些较复杂的计算,如:2α+β=α+ (α+β)等.
2.在应用过程中要能灵活运用公式,并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用,还要会逆用、变形用,如正切的和角公式的变形用,正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±3cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式.
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
1.基本公式:
sin2α=;
cos2α=; tan2α=2.公式的变用:
1+cos2α= 1-cos2α=
例1. 求值:
sin40(12cos40)2cos40cos401

解:原式= =
sin40sin80

cos40cos80
sin(6020)sin(6020)

cos(6020)cos(6020)

12sin
3

12
变式训练1:(cosA.-解:D

12
)(cos

12
+sin)= ( )
11 B.- C. D.
2222
例2. 已知α为锐角,且tan解:∵α为锐角 ∴=
sin2cossin
sin2cos2
1sin2cossin,求的值. 2sin2cos2

sin(2cos21)
2sincoscos2

15
=tan2= cos4
变式训练2:化简:
2tan(
2cos21
4
)sin2(
4
)

解:原式=
2sin(cos(
cos2
=1

4)
))
cos2(
4
例3.已知f(x)sin2xsinxcosx; (1) 求f(
2513
)的值; (2) 设(0,),f(),求sinα的值. 6242
解:(1)∵sin∴f(
251
62
cos
253

62
25252525
)cos2sincos0 6666
(2)f(x)∴f()
a2
31cos2xsin2x 222
113
cossin
22242
135
8
16sin22-4sinα-11=0 解得sin∵2(0,)sin0 故sin
15
8
变式训练3:已知sin(解:cos(=2sin2(

6
)=
12,求cos(2)的值.
33
2
+2α)=2cos2(+α)-1 33
7-α) -1=- 69

),求sinα、tanα的值. 2
例4.已知sin2 2α+sin2α cosα-cos2α=1,α(0,解:由已知得
sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0 即(sin2α+2cosα) (sin2α-cosα)=0 cos2α(1+sinα) (2sinα-1)=0 ∵α∈(0,
2
) cosα≠0 sinα≠-1
12
∴2sinα=1 sinα= ∴tanα=
33

变式训练4:已知α、β、r是公比为2的等比数列([0,2]),且sinα、sinβ、sinr也成等比数列,求α、β、r的值. 解:∵α、β、r成公比为2的等比数列. ∴β=2α,r=4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴
sinsinrsin2sin4
cos2cos221 sinsinsinsin2
1
2
即2cos22cos10,解得cosα=1或cos
当cosα=1时,sinα=0与等比数列首项不为零矛盾故cosα=1舍去 当cos时,∵2∈[0,2π] ∴2∴
12
22或2 33
2484816
,,r或,,r
333333
1.二倍角公式是和角公式的特殊情况,在学习时要注意它们之间的联系;

2.要理解二倍角的相对性,能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用). 3.对三角函数式的变形有以下常用的方法: ① 降次(常用降次公式)
② 消元(化同名或同角的三角函数) ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定
第5课时 三角函数的化简和求值
1.三角函数式的化简的一般要求: ① 函数名称尽可能少; ② 项数尽可能少; ③ 尽可能不含根式;
④ 次数尽可能低、尽可能求出值.
2.常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次. 3.求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解.
② “给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值,求另外的一些角的三角函数值,解题关键在于:变角,使其角相同; ③ “给值求角”关键也是:变角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 4.反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[,cos40sin50(13tan10)
sin70cos40

22
]、[0,π]、(,

22
)的角.
例1. (1)化简:
1sin6xcos6x
(2)化简:
1sin4xcos4x
cos10sin10
解:∵1tan10
cos10


2cos(6010)2cos50
∴原式 
cos10cos10
2sin50cos50
cos4012cos220
=2
sin702cos202cos2202cos220
cos40
变式训练1:已知f(x)解:
2
sin
1x
,若(,),则f(cos) f(cos)可化简为.
21x
例2. 已知6sin2sincos2cos20,α∈[

,],求sin(2α+)的值. 23
解法一:由已知得(3sinα+2cosα) (2sinα-cosα)=0
3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0 由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠即α∈(,π)
2
2
∴tanα=- sin(2α+)=sin2αcos
3
23

+cos2αsin
33
=sinαcosα+==
sincos
3
2
(cos2α-sin2α)
3cos2sin2
2cos2sin2
cos2sin2tan

31tan2
21tan21tan2
653
1326

=
解法二:由已知条件可知cosα≠0 则α≠
2
从而条件可化为 6 tan2α+tanα-2=0 ∵α∈(,π) 解得tanα=-2(下同解法一)
2
3
变式训练2:在△ABC中,sinAcosA解:∵sinA+cosA=∵2sinAcosA=-1
2
2
,AC2,AB3,求tanA的值和△ABC的面积. 2
22

文档信息:

  • 大小:3522KB
  • 页数:48页
  • 格式:doc格式

点击图片查看更多:

文档部分内容预览:

资源下载

隐藏内容:******,购买后可见!

下载价格:5 值得币

您需要先后,才能购买资源