高二2-2导数,积分,复数

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高中数学周练卷

一.选择题(共12小题)
32
1.(2015•安徽)函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0
,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立
2.(2015•新课标II)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣的x的取值范围是( ) A.(,1) B.
,+∞)
∪(1,+∞)
C.(
) D.(﹣∞

3.(2015•新课标II)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
4.(2015•河北)设函数f(x)=e(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ) A.[
5.(2015•海南模拟)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x},从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P(x,y)∈B的概率是( ) A.
6.(2015•佳木斯一模)已知等比数列{an},且a4+a8=的值为( )
2
A.π B.4 C.π
dx,则a6(a2+2a6+a10)
B.
C.
D.
2
x
) B.[) C.[) D.[)
D.﹣9π
7.(2015•新余二模)已知函数f(x)=sin(x﹣φ)﹣1(0<φ<dx=0,则函数f(x)的一个零点是( ) A.
B.
C.
D.

),且(f(x)+1)
8.(2015•德宏州校级三模)在平面直角坐标系中,由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=ex
以及该曲线在x=a(a≥1)处的切线所围成图形的面积是( ) A.ea
B.ea﹣1 C.ea D.ea
﹣1

9.(2015•
武汉模拟)
dx=( )
A.2(﹣1) B.+1 C.﹣1 D.2﹣ 10.(2015•新课标II)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( )A.﹣1 B.0 C.1 D.2
11.(2015•安徽)设i是虚数单位,则复数
在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.(2015•新课标I)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=( ) A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i

高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)
1.(2015•安徽)函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

3
2

A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【考点】函数的图象.
【专题】开放型;函数的性质及应用.
【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可. 【解答】解:f(0)=d>0,排除D, 当x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除C,
函数的导数f′(x)=3ax+2bx+c, 则f′(x)=0有两个不同的正实根, 则x1+x2=﹣
>0且x1x2=
2
2
>0,(a>0),
∴b<0,c>0,
方法2:f′(x)=3ax+2bx+c,
由图象知当当x<x1时函数递增,当x1<x2时函数递减,则f′(x)对应的图象开口向上, 则a>0,且x1+x2=﹣
>0且x1x2=
>0,(a>0),
∴b<0,c>0,
故选:A
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合函数的极值及f(0)的符号是解决本题的关键.
2.(2015•新课标II)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣的x的取值范围是( ) A.(,1) B.
,+∞)
【考点】函数的单调性与导数的关系;函数单调性的性质. 【专题】开放型;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.
,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立
∪(1,+∞) C.() D.(﹣∞

【解答】解:∵函数f(x)=ln(1+|x|)﹣为偶函数,
且在x≥0时,f(x)=ln(1+x)﹣导数为f′(x)=+>0,
即有函数f(x)在[0,+∞)单调递增,
∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|), 即|x|>|2x﹣1|,
2
平方得3x﹣4x+1<0, 解得<x<1,
所求x的取值范围是(,1).
故选A.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应用,运用偶函数的性质是解题的关键. 3.(2015•新课标II)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【专题】创新题型;函数的性质及应用;导数的综合应用.
【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为
减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,数形结合解不等式组即可. 【解答】解:设g(x)=
,则g(x)的导数为:g′(x)=

∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立, 即当x>0时,g′(x)恒小于0, ∴当x>0时,函数g(x)=又∵g(﹣x)=
=
为减函数, =
=g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)=
=0,
∴函数g(x)的图象性质类似如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0 ⇔


⇔0<x<1或x<﹣1. 故选:A.

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.
4.(2015•河北)设函数f(x)=e(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ) A.[
) B.[
) C.[

x
D.[)
【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点. 【专题】创新题型;导数的综合应用.
x
【分析】设g(x)=e(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e≥﹣a﹣a,解关于a的不等式组可得.
x
【解答】解:设g(x)=e(2x﹣1),y=ax﹣a,
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,
xxx
∵g′(x)=e(2x﹣1)+2e=e(2x+1), ∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,
﹣1
∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,
当x=0时,g(0)=﹣1,当x=1时,g(1)=e>0, 直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a, 故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e≥﹣a﹣a,解得故选:D
﹣1
≤a<1

【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.
5.(2015•海南模拟)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x},从集合A中随机地取出一个元素P(x,y),则P(x,y)∈B的概率是( ) A.
B.
C.
D.
2
【考点】定积分;几何概型.
【分析】集合A是一个正方形区域的内部及边界,4个顶点是(0,2)(0,﹣2)(2,0)(﹣
2
2,0),集合B是抛物线y=x下方的区域,分别求出面积,即可求出P(x,y)∈B的概率. 【解答】解:集合A是一个正方形区域的内部及边界,4个顶点是(0,2)(0,﹣2)(2,0)
2
(﹣2,0),集合B是抛物线y=x下方的区域 由
2
,可求得两图象在第一象限的交点坐标为(1,1)
∵抛物线y=x下方的区域的面积,根据对称性,可得面积为
=5+2×

正方形的面积为

=

∴P(x,y)∈B的概率是故选B.

【点评】本题考查几何概型,考查学生分析解决问题的能力,其中确定抛物线y=x下方的区域的面积是关键.
6.(2015•佳木斯一模)已知等比数列{an},且a4+a8=的值为( )
2
A.π B.4 C.π D.﹣9π 【考点】定积分;数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列.
2
dx,则a6(a2+2a6+a10)
【分析】设等比数列{an}的公比为q,由
dx表示圆的x+y=4的面积的,可
22

dx=π.由于a4+a8=
dx=π=
,可得a6(a2+2a6+a10)
==π.
2
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q, ∵
dx表示圆的x+y=4的面积的,∴
2
2
dx==π.
∴a4+a8=
dx=π=,
∴a6(a2+2a6+a10)=
==π.
2
故选:A.
【点评】本题考查了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.(2015•新余二模)已知函数f(x)=sin(x﹣φ)﹣1(0<φ<dx=0,则函数f(x)的一个零点是( ) A.
B.
C.
D.
),且(f(x)+1)

【考点】定积分;函数的零点.
【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】把f(x)=sin(x﹣φ)﹣1代入
(f(x)+1)dx=0,由定积分求得φ,得到
函数解析式,再由f(x)=0求得函数f(x)的一个零点. 【解答】解:由f(x)=sin(x﹣φ)﹣1且
(f(x)+1)dx=0,
得即
[sin(x﹣φ)]dx=0,∴[﹣cos(x﹣φ)]
,∴
,∴φ=

=0.

∵0<φ<
则f(x)=sin(x﹣由sin(x﹣取k=0,得x=
)﹣1,

)﹣1=0,解得:

故选:A.
【点评】本题考查了定积分,考查了由三角函数值求角,训练了函数零点的判断方法,是中档题. 8.(2015•德宏州校级三模)在平面直角坐标系中,由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e以及该曲线在x=a(a≥1)处的切线所围成图形的面积是( ) A.e
ax
B.e﹣1 C.e D.e﹣1
aaa
【考点】定积分;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=a处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,然后求出与坐标轴的交点坐标,最后利用所围成图形的面积等于曲边梯形ODBC的面积减去△ADB的面积,利用定积分求出曲边梯形ODBC的面积,即可求出所求.
【解答】解:∵y=e,∴y′=e,故曲线y=e在x=a处的斜率为e,切线方程为y﹣e=e(x﹣a),
a
令y=0得x=a﹣1≥0.如图所示,点A(a﹣1,0),D(a,0),,B(a,e),两坐标轴的正半轴,
曲线y=e以及该曲线在x=a(a≥1)处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积,
曲边形ODBC的面积为∫0edx=e﹣1,△ADB的面积为|AD|.
|DB|=×[a﹣(a﹣1)]e=e, 故所求的面积为e﹣1﹣e=e﹣1. 故选
D
a
a
a
ax
a
a
a
x
x
x
x
a
a
a

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及定积分的应用,同时考查了数形结合的思想,属于基础题.
9.(2015•
武汉模拟)
dx=( )
A.2(﹣1) B.+1 C.﹣1 D.2﹣ 【考点】定积分.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】先根据二倍角公式,化简原函数,再根据定积分的计算法则计算即可
【解答】解:∵==cosx﹣sinx,
∴dx=(cosx﹣sinx)dx=(sinx+cosx)|=+﹣0﹣1=﹣1
故选:C
【点评】本题考查了定积分的计算和三角函数的化简,属于基础题 10.(2015•新课标II)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】复数相等的充要条件. 【专题】数系的扩充和复数.
【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之.
【解答】解:因为(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,所以4a+(a﹣4)i=﹣4i,
2
4a=0,并且a﹣4=﹣4, 所以a=0; 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件,熟记运算法则以及复数相等的条件是关键.
11.(2015•安徽)设i是虚数单位,则复数
在复平面内对应的点位于( )
2
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题;数系的扩充和复数.
【分析】先化简复数,再得出点的坐标,即可得出结论.
【解答】解:=i(1+i)=﹣1+i,对应复平面上的点为(﹣1,1),在第二象限,
故选:B.
【点评】本题考查复数的运算,考查复数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础. 12.(2015•新课标I)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=( ) A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】由已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1,进一步求得z.
【解答】解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=
∴z=2﹣i. 故选:C.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

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