高中数学基础知识祥解

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摘要

数学高考基础知识、常见结论详解
山东淄博第一中学 数学组
一、集合与简易逻辑:
一、理解集合中的有关概念
(1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。
集合元素的互异性:如:A{x,xy,lg(xy)},B{0,|x|,y},求A; (2)集合与元素的关系用符号,表示。
(3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实
数集 。
(4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。
注意:区分集合中元素的形式:如:A{x|yx22x1};B{y|yx22x1};
C{(x,y)|yx2x1};D{x|xx22x1};E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ};
2
F{(x,y’)|yx2x1};G{z|yx2x1,z
22
yx

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、和{}的区别;0与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况。
2

如:A{x|ax2x10},如果AR,求a的取值。
二、集合间的关系及其运算
(1)符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“,”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
(2)AB{_________ CUA{_________
____________________
_};AB{_______________________}; _}
(3)对于任意集合A,B,则:
①AB___BA;AB___BA;AB___AB; ②ABA ;ABA ;
CUABU ;CUAB ;
③CUACUB ; CU(AB);
(4)①若n为偶数,则n ;若n为奇数,则n ;
②若n被3除余0,则n ;若n被3除余1,则n ;若n被3除余2,则n ;
三、集合中元素的个数的计算:
(1)若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,
所有非空真子集的个数是 。
(2)AB中元素的个数的计算公式为:Card(AB) ; (3)韦恩图的运用:
四、A{x|x满足条件p},B{x|x满足条件q},
若 ;则p是q的充分非必要条件A_____B; 若 ;则p是q的必要非充分条件A_____B; 若 ;则p是q的充要条件A_____B;
若 ;则p是q的既非充分又非必要条件__________五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ;
注意:“若pq,则pq”在解题中的运用,
_;
如:“sinsin”是“”的 条件。
六、反证法:当证明“若p,则q”感到困难时,改证它的等价命题“若q则p”成立,
步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,
从而肯定结论正确。
矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

二、函数
一、映射与函数:
(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念:
如:若A{1,2,3,4},B{a,b,c};问:A到B的映射有 个,B到A的映射有 个;
A到B的函数有A{1,2,3},则A到B的一一映射有
函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 二、函数的三要素:,。
相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:
(2)函数定义域的求法: ①y
f(x)g(x)
,则; ②y
2f(x)(nN)则
*
③y[f(x)],则; ④如:ylog⑤含参问题的定义域要分类讨论;

f(x)
g(x),则
如:已知函数yf(x)的定义域是[0,1],求(x)f(xa)f(xa)的定义域。
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为20,半径为r,扇形面积为S,则Sf(r)。 (3)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:f(x)ax的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围;常用来解,型如:y
2
bxc,x(m,n)
axbcxd
,x(m,n);
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:yx
kx
(k0),利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:①y
abxabx
(a0,b0,ab,x[1,1])(2种方法);
②y
xx3
x
2
,x(,0)(2种方法);③y
xx3x1
2
,x(,0)(2种方法);
三、函数的性质:
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。
应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x)
f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。
(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量a(m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
如:yf(x)的图象如图,作出下列函数图象: (1)yf(x);(2)yf(x); (3)yf(|x|);(4)y|f(x)|; (5)yf(2x);(6)yf(x1); (7)yf(x)1;(8)yf(x);
1
(9)yf(x)。

五、反函数: (1)定义:
(2)函数存在反函数的条件: ;
(3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; (4)求反函数的步骤:①将yf(x)看成关于x的方程,解出xf②将x,y互换,得yf
1
1
(y),若有两解,要注意解的选择;
。 (x);③写出反函数的定义域(即yf(x)的值域)
(5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性;
(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数:f(x)x2x3(x0);f(x)七、常用的初等函数:
(1)一元一次函数:yaxb(a0),当a0时,是增函数;当a0时,是减函数; (2)一元二次函数: 一般式:yax
2
2
x
2
x
21
;f(x)log
x
2
x1
2(x0)
bxc(a0);对称轴方程是;顶点为
两点式:ya(xx1)(xx2);对称轴方程是;与x轴的交点为; 顶点式:ya(xk)
2
h;对称轴方程是;顶点为;
①一元二次函数的单调性:
当a0时: 为增函数; 为减函数;当a0时: 为增函数; 为减函数; ②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为ya(xk)Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则
2
h的形式,
a0时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a0时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则
a0时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a0时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型:
(1)顶点固定,区间也固定。如:yx
2
x1,x[1,1]
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.yx
2
x1,x[a,a1]
2
③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程f(x)ax
bxc0的两根为x1,x2;
则:
注意:若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的
情况,得出结果,在令xn和xm检查端点的情况。
(3)反比例函数:y
ax
x
(x0)ya
cxb

(4)指数函数:ya(a0,a1) 指数运算法则: ; ; 。
指数函数:y=a (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1
和00,则
1a

1b
。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若a,b0,则
ab2
ab(当且仅当ab时取等号) ab2
)
2
基本变形:①ab ;( ;
②若a,bR,则a
基本应用:①放缩,变形;
2
b2ab,
2
ab2
22
(
ab2
2)
②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当abp(常数),当且仅当 时, ; 当abS(常数),当且仅当 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数y4x
924x
(x
12
)的最小值 。
②若正数x,y满足x2y1,则
1x

1y
的最小值 。
三、绝对值不等式:   
注意:上述等号“=”成立的条件;
四、常用的基本不等式: (1)设a,bR,则a
2
0,(ab)0(当且仅当 时取等号)
2
(2)|a|a(当且仅当 时取等号);|a|a(当且仅当 时取等号) (3)ab,ab0
1a

1b

1a

1b
 ;
五、证明不等式常用方法:
(1)比较法:作差比较:AB0AB
作差比较的步骤:
⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。
⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。
(2)综合法:由因导果。
(3)分析法:执果索因。基本步骤:要证„„只需证„„,只需证„„ (4)反证法:正难则反。
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有:
⑴添加或舍去一些项,如:
a1a;n(n1)n
2
⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:log3lg5(
lg3lg5
2
)
2
lglglg4;
n(n1)
⑷利用常用结论:
Ⅰ、
n(n1)
2

k1k
1k1
1k1
1(k1)(k1)
1kk

12k1k1
2

Ⅱ、
1k
2

1k(k1)1k
2
; 
1k(k1)
1

1k

1k1
(程度大)
Ⅲ、
1k
2

1

2k1
(
1

k1
) ; (程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和
代数换元。如: 已知x已知x
2
yy
2
a,可设xacos,yasin;
1,可设xrcos,yrsin(0r1);
2
2
22
已知
xaxa
22

ybyb
2
1,可设xacos,ybsin;
22
22
已知
1,可设xasec,ybtan;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式:
Ⅰ、axb(a0):⑴若a0,则 ;⑵若a0,则 ; Ⅱ、axb(a0):⑴若a0,则 ;⑵若a0,则 ;
(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论:
(5)绝对值不等式:若a0,则|x|a ;|x|a ;
注意:(1).几何意义:|x|: ;|xm|: ;
(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有:
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若a0 则

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