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必修模块知识点总结
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集合
()元素与集合的关系:属于()和不属于()1
2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素((3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集
4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法(

子集:若xA xB,则AB,即A是B的子集。

1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个。
2、任何一个集合是它本身的子集,即 AA 注
关系3、对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.4、空集是任何集合的(真)子集。

真子集:若AB且AB(即至少存在x0B但x0A),则A是B的真子集。集合集合相等:AB且AB AB
集合与集合定义:ABx/xA且xB交集性质:AAA,A,ABBA,ABA,ABB,ABABA
定义:ABx/xA或xB并集性质:AAA,AA,ABBA,ABA,ABB,ABABB运算
 Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义:CUAx/xU且xA补集性质:(CUA)A,(CUA)AU,CU(CUA)A,CU(AB)(CUA)(CUB), C(AB)(CA)(CB)UUU

函数
映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:B为从集合A到集合B的一个映射
传统定义:如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,
定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).
近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则
解析法函数的表示方法列表法
图象法
传统定义:在区间a,b上,若ax1x2b,如f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上递增,a,b是 
 递增区间;如f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。单调性导数定义:在区间a,b上,若f(x)0,则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间;如f(x)0
a,b是的递减区间。  则f(x)在a,b上递减,
最大值:设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;函数 (2)存在x0I,使得f(x0)M。则称M是函数yf(x)的最大值函数的基本性质最值最小值:设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数N满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)N; (2)存在x0I,使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值
(1)f(x)f(x),x定义域D,则f(x)叫做奇函数,其图象关于原点对称。奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D,则f(x)叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性:在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数,T为周期;
 T的最小正值叫做f(x)的最小正周期,简称周期
(1)描点连线法:列表、描点、连线向左平移个单位:y1y,x1axyf(xa)
向右平移a个单位:yy,xaxyf(xa)
平移变换向上平移b个单位:x1x,y1byybf(x)
11向下平移b个单位:xx,y11byybf(x)
横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w1时)或伸长(当0w1时)
 到原来的1/w倍(纵坐标不变),即x1wxyf(wx)
伸缩变换纵坐标变换:把各点的纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍1函数图象的画法 (横坐标不变), 即y1y/Ayf(x)(xx12x0x12×0x2)变换法关于点(x,y)对称:2y0yf(2×0x)00yy12y0y12y0y
xx12x0x12×0x关于直线xx0对称:yf(2×0x)yy1y1y对称变换xx1x1x关于直线yy对称:2y0yf(x)0y1y2y0y12y0yxx1关于直线yx对称:yf1(x)yy1



附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx中
xk

2
(kZ);余切函数ycotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,
应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论:
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)g(x)在这个区间上也为增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数,则f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则yf[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同,则yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在x0处有定义,则f(0)0,如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为
11
f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)],该式的特点是:右端为一个奇函数
22
和一个偶函数的和。

零点:对于函数yf(x),我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理:如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,
零点与根的关系 那么,函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方
 程f(x)0的根。(反之不成立)关系:方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度;函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c);
二分法求方程的近似解 ①若f(c)0,则c就是函数的零点;
 ②若f(a)f(c)0,则令b(此时零点cx(a,b));0 ③若f(c)f(b)0,则令a(此时零点cx(c,b));0
(4)判断是否达到精确度:即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
n为根指数,a为被开方数a分数指数幂
arasars(a0,r,sQ)指数的运算
rs指数函数rs性质(a)a(a0,r,sQ)
(ab)rarbs(a0,b0,rQ)

定义:一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数函数。指数函数性质:见表1

对数:xlogaN,a为底数,N为真数

loga(MN)logaMlogaN;基本初等函数
logaMlogaMlogaN;.N对数的运算性质
nnlogM;(a0,a1,M0,N0)logM对数函数aa
logcb
换底公式:logb(a,c0且a,c1,b0)alogca

对数函数定义:一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质:见表1

定义:一般地,函数yx叫做幂函数,x是自变量,是常数。幂函数
性质:见表2

)

高中数学必修2知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当0,90时,k0; 当90,180在。
②过两点的直线的斜率公式:k





时,k0; 当90

时,k不存
y2y1
(x1x2)
x2x1
注意下面四点:(1)当x1x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程
①点斜式:yy1k(xx1)直线斜率k,且过点x1,y1
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:ykxb,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:④截矩式:
yy1xx1
(x1x2,y1y2)直线两点x1,y1,x2,y2 
y2y1x2x1
xy1 ab
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式:AxByC0(A,B不全为0)
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如: 注意:○
平行于x轴的直线:yb(b为常数); 平行于y轴的直线:xa(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0xB0yC0(C为常数)
(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k的直线系:(ⅱ)过两条直线l1:为
yy0kxx0,直线过定点x0,y0;
A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程
,其中直线l2不在直线系中。 A1xB1yC1A2xB2yC20(为参数)(6)两直线平行与垂直
当l1:yk1xb1,l2:yk2xb2时,
l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20相交 A1xB1yC10
交点坐标即方程组的一组解。 
A2xB2yC20
方程组无解l1//l2 ; 方程组有无数解则|AB|
l1与l2重合
(8)两点间距离公式:设A(x1,y1),(是平面直角坐标系中的两个点,
Bx2,y2)
(9)点到直线距离公式:一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C
22
AB
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的
半径。
2、圆的方程
(1)标准方程xaybr,圆心
2
2
2
a,b,半径为r;

2
2
(2)一般方程xyDxEyF0
1DE,半径为当DE4F0时,方程表示圆,此时圆心为rD2E24F ,
2
2
2
22
当DE4F0时,表示一个点; 当DE4F0时,方程不表示任何图
形。
(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系:
直线与圆的位臵关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线l:AxByC0,圆C:xa2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC,则有drl与C相离;drl与C相切;drl与C相交
22
AB
2222
(2)设直线l:AxByC0,圆C:xaybr2,先将方程联立消元,得到
一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有
0l与C相离;0l与C相切;0l与C相交
2
注:如果圆心的位臵在原点,可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题,其中x0,y0表示切点坐标,r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:
2
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0yy0r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广).
4、圆与圆的位臵关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆C1:xa12yb12r2,C2:xa22yb22R2 两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
2
2
当dRr时,两圆内含; 当d0时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱





AD’
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且
相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥PABCDE
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到
截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台PABCDE
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图
是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度。










3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h为斜高,l为母线)

S直棱柱侧面积ch S圆柱侧2rh S正棱锥侧面积1ch’ S圆锥侧面积rl
2
S正棱台侧面积
1(rR)l (c1c2)h’ S圆台侧面积2
2rrl S圆锥表rrl S圆台表r2rlRlR2
S圆柱表

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
12r hV柱Sh V圆柱Sh V锥Sh V圆锥
1r2h
3
3
1’11’V(SS)h(r2rRR)2h V台(SS)h
圆台
333

2
(4)球体的表面积和体积公式:V球=4R3 ; S球面=4R
3
4、空间点、直线、平面的位臵关系 (1)平面
① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;
② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③ 点与平面的关系:点A在平面内,记作A;点A不在平面内,记作A 点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l; 点A在直线l外,记作Al; 直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作lα;直线l不在平面α内,记作lα。 (2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1:Al,Bl,A,Bl (3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一
平面。

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