广东省珠海市第四中学2009届高三数学二轮专题复习教案-三角函数1

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摘要

2009届高三数学二轮专题复习教案――三角函数 一、本章知识结构:

二、重点知识回顾
1、终边相同的角的表示方法:凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600+α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈Z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900,k∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。 理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算; ⑴角度制与弧度制的互化:弧度180,

1

180弧度,1弧度
(
180

)
5718′
11SR2Rl
22。 ⑵弧长公式:lR;扇形面积公式:
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角
函数的关系式、诱导公式:
(1)三角函数定义:角中边上任意一点P为(x,y),设|OP|r则:
sin
yxy,cos,tanrrx
(2)三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;
(3)特殊角的三角函数值 α

6
12
4
22
3
32
2
1

32
-1
2
sinα 0 0
cosα 1
2 3
22
1
12
0 -1 0 1
tanα 0
3
不存在 0 不存在 0
sin2xcos2x1;
(3)同角三角函数的基本关系:
sinx
tanxcosx
(4)诱导公式(奇变偶不变,符号看象限):
sin()=sinα,cos()=-cosα,tan()=-tanα sin()=-sinα,cos()=-cosα,tan()=tanα sin()=-sinα,cos()=cosα,tan()=-tanα
sin(2)=-sinα,cos(2)=cosα,tan(2)=-tanα
sin(2k)=sinα,cos(2k)=cosα,tan(2k)=tanα,(kZ)

sin(2


)=cosα,cos(2

)=sinα

sin(2


)=cosα,cos(2

)=-sinα
3、两角和与差的三角函数 (1)和(差)角公式
①sin()sincoscossin;
②cos()coscossinsin;③(2)二倍角公式
二倍角公式:①sin22sincos;
tan()
tantan
1tantan
2222
cos2cossin2cos112sin;③②
tan2
2tan
1tan2
(3)经常使用的公式
sin2
①升(降)幂公式:
1cos21cos21
cos2sincossin2
222、、;
asinbcos)(由a,b具体的值确定); ②辅助角公式:
③正切公式的变形:tantantan()(1tantan).
4、三角函数的图象与性质
(一)列表综合三个三角函数ysinx,ycosx,ytanx的图象与性质,并挖掘: ⑴最值的情况;
⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求yAsin(x)的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况; ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;
ysinx的对称轴是
xk

2(kZ),对称中心是(k,0)(kZ);
(k

2
ycosx的对称轴是xk(kZ),对称中心是
,0)
(kZ)
k
,0)(kZ)
ytanx的对称中心是2
(
注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0.
(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
yAsin(x)的简图,并能由图象写出解析式.
⑴“五点法”作图的列表方式;
⑵求解析式yAsin(x)时处相的确定方法:代(最高、低)点法、公式(三)正弦型函数yAsin(x)的图象变换方法如下: 先平移后伸缩 ysixn的图象
向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
x1

.

得ysin(x)的图象
横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1
到原来的(纵坐标不变)

得ysin(x)的图象
纵坐标伸长(A1)或缩短(0b时,一解(锐角)。 三、考点剖析
考点一:三角函数的概念
【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制,任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能进行弧度与角度的互化,会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法,终边相同角的表示方法,由三角函数的定义,确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下,
计算扇形的面积和弧长比在角度制下
计算更为方便、简洁。
【命题规律】在高考中,主要考查象限角,终边相同的角,三角函数的定义,一般以选择题和填空题为主。
例1、(2008北京文)若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 .
tan
解:
22tan42,tan2.211tan3
点评:一个角的终边经过某一点,在平面直角坐标系中画出图形,用三角函数的定义来求解,
或者不画图形直接套用公式求解都可以。 考点二:同角三角函数的关系 【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系,用同角三角函数定义反复证明强
22
化记忆,在解题时要注意sincos1,这是一个隐含条件,在解题时要经常能想到
它。利用同角的三角函数关系求解时,注意角所在象限,看是否需要分类讨论。
【命题规律】在高考中,同角的三角函数的关系,一般以选择题和填空题为主,结合坐标系分类讨论是关键。
例2、(2008浙江理)若cos2sin则tan=( )
11

(A)2 (B)2 (C)2 (D)2
解:由cos2sin
cos2sin,
222
又由sincos1,可得:sin
+(2sin)2=1
2
55
可得sin=-5,cos2sin=-5, sin
所以,tan=cos=2。
22
点评:对于给出正弦与余弦的关系式的试题,要能想到隐含条件:sincos1,
与它联系成方程组,解方程组来求解。 例3、(2007全国卷1理1)是第四象限角,
tan
5
12,则sin( )
1A.5 1B.5
5C.13 5D.13

5sin
12cos5
tansin2cos21
12解:由,所以,有,是第四象限角,
5
解得:sin13

tan
点评:由正切值求正弦值或余弦值,用到同角三角函数公式:
22
到隐含条件:sincos1。
sin
cos,同样要能想
考点三: 诱导公式
【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立,记忆方法可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”,“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的,sinα与cosα对偶,“奇”、
k
“偶”是对诱导公式中

k
2+α的整数k来讲的,象限指2+α中,将α看作锐角时,
k
3
3
2+α所在象限,如将cos(2+α)写成cos(2+α),因为3是奇数,则“cos”
333变为对偶函数符号“sin”,又2+α看作第四象限角,cos(2+α)为“+”,所以有cos(2+
α)=sinα。
【命题规律】诱导公式的考查,一般是填空题或选择题,有时会计算特殊角的三角函数值,也有些大题用到诱导公式。
例4、(2008陕西文) sin330等于( )
A

1B.2


1C.2 D
. 12
解:sin330sin(36030)=
sin30
点评:本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查,熟练掌握诱导公式即可。
7
答案:25

sin(
例5、(2008浙江文)若

3
),则cos225 .
sin(
解:由

2
)
3337coscos22cos212()21
5可知,5;而525。
点评:本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用,难度不算大,属基础题,熟练掌握公
式就能求解。
考点四:三角函数的图象和性质

【内容解读】理解正、余弦函数在]0,2π],正切函数在(-2,2)的性质,如单调性、
最大值与最小值、周期性,图象与x轴的交点,会用五点法画函数yAsin(x),xR的图象,并理解它的性质:
(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;
(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;
1
(3)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的4个周期。
注意函数图象平移的规律,是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移。
【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ,以选择题、解答题为主,难度以容易题、中档题为主。
asin
例6、(2008天津文)设A.abc

522
bcosctan7,7,7,则( )
C.bca
D.bac
B.acb
asin
解:
222220cossin1tan
7,因为472,所以777,选D.

点评:掌握正弦函数与余弦函数在[0,4],[4, 2]的大小的比较,画出它们的图
象,从图象上能比较它们的大小,另外正余弦函数的值域:[0,1],也要掌握。
ππ
ylncosxx
2的图象是( ) 2例7、(2008山东文、理)函数
x
x

ylncosx(
解:

2
x

2是偶函数,可排除B、D,由cosx的值域可以确定.因此本
)
题应选A.
点评:本小题主要考查复合函数的图像识别,充分掌握偶函数的性质,余弦函数的图象及性质,另外,排除法,在复习时应引起重视,解选择题时,经常采用排除法。

例8、(2008天津文)把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度,1
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的
函数是( )

ysin2x,xR
3A. x
ysin,xR
26B.

ysin2x,xR
3C.
解:

ysin2x,xR
3D.
y=
sinx


向左平移个单位
3

ysin(x3


1
横坐标缩短到原来的倍
2
ysin(2x3,故选(C)。
点评:三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一,牢固变换的方法,按照变换的步骤来求解即可。
ycos(
例9、(2008浙江理)在同一平面直角坐标系中,函数
x3
)(x[0,2])22的
y
图象和直线
1
2的交点个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 解:原函数可化为:
ycos(

x3x)(x[0,2])sin,x[0,2].222=作出原函数图像,
y
1
2的交点个数是2个.
截取x[0,2]部分,其与直线
点评:本小题主要考查三角函数图像的性质问题,学会五点法画图,取特殊角的三角函数值画图。
考点五:三角恒等变换 【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用;;能从两角差的余弦公式,导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,公式之间的规律,能用上述的公式进行简单的恒等变换;注意三角恒等变换与其它知识的联系,如函数的周期性,三角函数与向量等内容。 【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有,近几年常
有一道解答题,难度不大,属中档题。
2
f(x)3sinxsinxcosx 例10、(2008惠州三模)已知函数

f(x)在x0,
2的值域. (I)求函数f(x)的最小正周期; (II)求函数
2
f(x)sinxsinxcosx解:

1cos2x1
sin2x22

21Tsin2xcos2xsin(2x)
2222 32 (I) 0x

(II)∴
2 ∴3
2x

3

4
sin(2x)1
3 ∴ 23
2
3,
2 所以f(x)的值域为:
点评:本题考查三角恒等变换,三角函数图象的性质,注意掌握在给定范围内,三角函数值
域的求法。
xx33cos,sin
22),且例11、(2008广东六校联考)已知向量a=(cos2x,sin2x),b=(

x∈[0,2].
ab
(1)求(2)设函数


f(x)ab

+ab,求函数f(x)的最值及相应的x的值。
3xx3xx

ab(coscos,sinsin)0x
2222 2, 得:解:(I)由已知条件:

2
sx2sinx 22co2
f(x)2sinxcos
3xx3xx
cossinsin22222sinxcos2x
(2)
13
2sin2x2sinx12(sinx)20x
22,因为:2,所以:
0sinx1
x
所以,只有当:
13
fmax(x)
2时, 2,x0 ,或x1时,fmin(x)1
点评:本题是三角函数与向量结合的综合题,考查向量的知识,三角恒等变换、函数图
象等知识。
f(x)sin2xxsin(x
例12、(2008
北京文、理)已知函数小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;

2
)(0)
的最
2
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,3]上的取值范围.
f(x)
解:(Ⅰ)
1cos2x2x22
11
xcos2x
22 =1
sin(2x).
62 =
2
2 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以
解得ω=1.
1
f(x)sin(2x).
62 (Ⅱ)由(Ⅰ)得
2
因为0≤x≤3, 17
2x.266所以≤≤

1
(2x)
6≤1. 所以2≤

133
sin(2x)
62≤2,即f(x)的取值范围为[0,2] 因此0≤
点评:熟练掌握三角函数的降幂,由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂,在训
练时,要注意公式的推导过程。

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