不等式

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摘要

不等式专题
一 知识要点
1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)号的定义:ab0ab;ab0ab;ab0ab. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式.
(4) 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)abba(对称性)
(2)ab,bcac(传递性)
(3)abacbc(加法单调性)
(4)ab,cdacbd(同向不等式相加) (5)ab,cdacbd(异向不等式相减) (6)a.b,c0acbc
(7)ab,c0acbc(乘法单调性)
(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)
(9)ab0,0cd
abcd
(异向不等式相除)
(10)ab,ab0
11(倒数关系) ab
(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法则) (12)ab0a(nZ,且n1)(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)若aR,则|a|0,a20
(2)若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(当仅当a=b时取等号) (3)如果a,b都是正数,那么

ab
.(当仅当a=b时取等号) 2
极值定理:若x,yR,xyS,xyP,则:
1如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小; ○
2如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等
.
(4)若a、b、cR,则
abca=b=c时取等号) 3
ba
(5)若ab0,则2(当仅当a=b时取等号)
ab
(6)a0时,|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa
(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|
4.几个著名不等式
ab (1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么

2ab
2
(当仅当a=b时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):
ab2a2b2
)特别地,ab(22
2
ab2a2b2
)ab) (当a = b时,(22
a2b2c2abc
(a,b,cR,abc时取等)
33
222
幂平均不等式:a1a2…an
1
(a1a2…an)2 n
注:例如:(acbd)
2
(a2b2)(c2d2).
11111112(n2)
nn1n(n1)nn(n1)n1n
常用不等式的放缩法:①




n1)

(2)柯西不等式:
若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则
2222222
(a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)
aaaa
123n时取等号
b1b2b3bn
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1
x2),有
f(
x1x2f(x1)f(x2))或22
f(
x1x2f(x1)f(x2)
). 22
则称f(x)为凸(或凹)函数.

5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
0f(x)g(x)0;g(x)
f(x)g(x)0f(x)
0 g(x)g(x)0
(3)无理不等式:转化为有理不等式求解

1
f(x)0
定义域
g(x)0
f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0
2f(x)[g(x)]f(x)0

f(x)g(x)g(x)0
2
f(x)[g(x)]
○2
○3
(4)指数不等式:转化为代数不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb
(5)对数不等式:转化为代数不等式

f(x)0

logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;
f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)
(6)含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○
3应用化归思想等价转化 ○
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注:常用不等式的解法举例(x为正数): ①x(1x)2
1124

2x(1x)(1x)()3
22327
2
2×2(1x2)(1x2)1234②yx(1x)y()y
223272
类似于ysinxcos2xsinx(1sin2x),③|x1||x||1|(x与1同号,故取等)2
x
x
x

二.典型例题
例1 解不等式x2x2
分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念a
a(a0)
,将不等式中
a(a0)
的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论.

解:令x10,∴ x1,令2x30,∴x
3
,如图所示.2

(1)当x1时原不等式化为(x1)(2x3)2∴x2与条件矛盾,无解.
33时,原不等式化为x1(2x3)2.∴ x0,故0x. 2233
(3)当x时,原不等式化为x12x32.∴x6,故x6.综上,
22
(2)当1x
原不等式的解为x0x6.
说明:要注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,
这样做条理分明、不重不漏.


例2 求使不等式x4x3a有解的a的取值范围.
分析:此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简便.
解法一:将数轴分为,3,[3,4],(4,)三个区间 当x3时,原不等式变为(4x)(3x)a,x
7a7a
3,即有解的条件为
22
a1;
当3x4时,得(4x)(x3)a,即a1; 当x4时,得(x4)(x3)a,即x
a7a7
4 ∴a1.,有解的条件为
22
以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为a1.

解法二:设数x,3,4在数轴上对应的点分别为P,A,B,如图,由绝对值的几何定义,原不等式PBa的意义是P到A、B的距离之和小于a.
因为AB1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于1),即x4x31,故当a1时,x4xa有解.
例3 已知xa
2M,0yb2a
,y(0,M),求证xyab. 分析:根据条件凑xa,yb.
xyxyyayay(xa)a(yb)yxaaybM
2Ma
2a
. 说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法.

例4 求证
a2b2
a
ab
分析:使用分析法
证明 ∵a0,∴只需证明a2
b2
a2
ab,两边同除b2
,即只需证明
a2b2
2a
b
2

ab
2

,即
(aab)2(ab)2b

a
b
1时(ab)21(ab)21(aaa
b)2b;当b
1时, a0,原不等式显然成立.∴原不等式成立.
说明:在绝对值不等式的证明,常用分析法.本例也可以一开始就用定理:
a2b2
a22
a
aab
a
b

(1)如果
a
1,则ab0,原不等式显然成立. b
bbb
1,则b,利用不等式的传递性知a,ba,∴
aaa
(2)如果
原不等式也成立.

例5 求证
ab1ab

a1a

b1b

分析:本题的证法很多,下面给出一种证法:比较要证明的不等式左右两边的形式完全
相同,使我们联想利用构造函数的方法,再用单调性去证明.
证明:设f(x)
x1x11
. 1
1x1x1x
定义域为{xxR,且x1},f(x)分别在区间(,1),区间(1,)上是增函数.

0abab
ab1ab

a1ab

,∴f(ab)f(ab)
b1b

ab1ab
b1ab

a1a

∴原不等式成立.
说明:在利用放缩法时常常会产生如下错误: ∵
abab

1ab0
,∴
abababab
. 
1ab1ab1ab1ab1a1b
错误在不能保证1ab1a,1ab1b.绝对值不等式abab在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用,其形式转化比较灵活.放缩要适度,要根据题目的要求,及时调整放缩的形式结构.

(a1)2(a1)2
例6 关于实数x的不等式x与x23(a1)x2(3a1)0(aR)
22
的解集依次为A与B,求使AB的a的取值范围.
分析:分别求出集合A、B,然后再分类讨论.
(a1)2(a1)2(a1)2(a1)2(a1)2
x解:解不等式x,,∴
22222
Ax2axa21,aR.
解不等式x23(a1)x2(3a1)0,[x(3a1)](x2)0. 当a

11
时(即3a12时),得Bx2x3a1,a.
3311
时(即3a12时),得Bx3a1x2,a.
33
当a
当a
2a2,1
时,要满足AB,必须2故1a3; 3a13a1,
2a3a1,a1,1
时,要满足AB,必须 ∴a1. 2
1a1,32a1;
当a
所以a的取值范围是aRa1或1a3.
说明:在求满足条件AB的a时,要注意关于a的不等式组中有没有等号,否则会导致误解.


例7 已知数列通项公式an
sinasin2asin3asinna
对于正整数m、n,当222232n
mn时,求证:aman
1. n2
分析:已知数列的通项公式是数列的前n项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再利用不等式a1a2ana1a2an,问题便可解决.
证明: ∵
mn∴
aman
sin(n1)asin(n2)asinmasin(n1)asin(n2)asinma
 n1n2mn1n2m
222222
1
12n1
12n21
1
m21
(1n1
1
mn
112
)
1111(1)(011). 2n2mn2n2mn
111
是以为首项,以为公比,共有mn项的等比数列n1n2mn1
22222
的和,误认为共有mn1项是常见错误.
说明:
正余弦函数的值域,即sin1,cos1,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起,是一个较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦,不等式同样成立.

例8 已知f(x)x2x13,xa1,求证:f(x)f(a)2(a1)
分析:本题中给定函数f(x)和条件xa1,注意到要证的式子右边不含x,因此对条件xa1的使用可有几种选择:(1)直接用;(2)打开绝对值用a1xa1,替出x;(3)用绝对值的性质xaxa1xa1进行替换.
证明:∵f(x)x2x13,∴f(a)a2a13,∵xa1,∴xaxa1. ∴
xa1,∴
f(x)f(a)x2a2ax(xa)(xa)(xa)(xa)(xa1)
xaxaf(x)f(a)2(a1).
xa1xa1a1a12(a1),即
说明:这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用.分析中对条件xa1使用时出现的三种可能是经常碰到的,要结合求证,灵活选用.

三.课后练习
一、选择题
1设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是( ) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd

D.
ab
 dc
x210
2.(京皖春,1)不等式组的解集是( )
2
x3x0
A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}

B.{x|0<x<3}
D.{x|-1<x<3}
3.(2002全国,3)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( ) A.{x|0≤x<1} C.{x|-1<x<1}

B.{x|x<0且x≠-1} D.{x|x<1且x≠-1}
4.不等式
x1
>0的解集为( ) x3
A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1或x>3} D.{x|1b>0是a2>b2的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 7.(2000全国,7)若a>b>1,P=
lgalgb,Q=(lga+lgb),R=lg(
1
2ab
),2
则( )
A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q ※
8.(2000全国,6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分
段累进计算:
某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于( ) A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元
9.(上海理,15)若a(b+)均不能成立
babaa
D.不等式

1111
和(a+)2>(b+)2均不能成立 
b|a||b|a
10.(全国,14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70
元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
x0

11.不等式组3x2x的解集是( )
||3x2x
A.{x|0<x<2} C.{x|0<x<

B.{x|0<x<2.5} D.{x|0<x<3}
}
1
2
12.)若0<a<1,则下列不等式中正确的是( ) A.(1-a)>(1-a) C.(1-a)3>(1+a)2 二、填空题 13.函数y=

13

B.log1-a(1+a)>0 D.(1-a)
(1a)
>1
132xx
2
的定义域为 .
14.全国,17)若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是

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