2012初中数学远程研修优秀作业4

  • A+
所属分类:教育文档
摘要

第三期
2012年7月30日(星期一)

总 编:王尚志
编 委:刘青岩 吕学江 褚爱华 云 鹏 陈 杰 姜仲平 谢志平 汤华财 郑立平 刘金广 刘同军 刘建宇 刘 江 王军艳 张延芳 主 编:吕学江 褚爱华 陈 杰 刘同军

专家引领:整体把握初中数学课程——大学与高中数学
整体把握初中数学课程 ——数与代数
专题解读:数与代数内容分析与教学建议
热点聚焦:学员优秀作业展示
智慧分享:获得“数学活动经验”有标准吗?
数学基本活动经验的内容、层次和获取过程
研修感言
每日之星
优秀班级简报链接
团队心声
作业公告:模块三作业
温馨提示:关于开展在线研讨的通知

整体把握初中数学课程——大学与高中数学
首都师范大学 王尚志教授
首都师范大学 胡凤娟博士
在这次课程改革中,整体把握数学课程是数学学科特别强调的重点,整体把握义
务教育阶段的数学,整体把握义务教育数学课程——理念、目标、内容、实施建议,这是每一位老师应该认真完成的“基本功”,越早越好。我们应该把一个比较完整数学课程交给学生。我们在讲座中将重点讨论初中数学课程为什么分为四大内容领域?以及数与代数的基本脉络,图形与几何的基本脉络,统计概率基本脉络,综合与实践的基本脉络。
山东的初中老师大部分都达到专科或本科学历,有必要对大学和高中数学课程有
一个初步了解。
纵观大学数学系的课程,我们可以大致将其分为五类,具体如下:函数类、 代数
类、几何类、统计概率类、应用类。
函数类课程有:数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛
函分析等,这些课程的研究对象都是函数,我们将其归为函数类课程;
代数类课程有:高等代数、抽象代数、初等数论、代数数论、解析数论等,这些
都是研究代数的课程,也称为运算类课程;
几何类课程有:解析几何、微分几何、射影几何、拓扑学等,这些课程研究的对
象都是图形及其性质,我们将其归为几何类课程;
统计概率类课程:概率论、数理统计、统计分析等,显而易见与前面的都不相同,研究生活中的随机现象,数据处理,并进行判断,我们将其归为概率统计类课程;
应用类课程:运筹学、最优化理论、生物数学、金融数学、经济数学、数学建模、数学试验等等,这些课程都是研究数学应用或应用数学,即数学在实际生活中应用,我们将其归为应用类课程。
从上面的分析,有理由说:在数学中,“函数”,“代数——运算”,“图形——几何”,“统计概率——数据和随机现象”,“应用”,它们是最重要的,不仅是它们自身,而且是
它们的综合,例如,泛函分析、代数几何、微分拓扑、随机微分方程等等,都是综合地运用函数-代数-几何等解决问题的课程。大学数学的课程代表了数学发展的趋势和方向,数学课程设置时要考虑的一个重要因素就是数学的发展。
高中数学课程是以六条主线展开,即:函数、运算、几何、统计概率、应用和算法。这里我们以函数为例进行较为详细的介绍,其他主线请参考高中的相关书籍。
在高中阶段的函数的学习主要回答以下四个问题:①基本初等函数有哪些?②基本初等函数有哪些重要的性质?③研究基本初等函数的方法有哪些?④基本初等函数的应用有哪些?简单幂函数(特别是整数幂函数)、指数函数、对数函数、三角函数是基本函数,又称为基本初等函数。单调性、周期性、对称性是基本的性质,还有函数的定义域、值域、最值等性质是函数的重要性质。研究函数的基本方法一般有两种,一种通过代数运算研究函数,另一种方法微积分方法——用导数和积分研究函数。函数应用主要反映在两个方面:一方面,在研究数学问题的应用;另一方面,用函数思想解决其他学科问题,如物理、化学、生物中的问题;更值得关注的是用函数思想解决简单的实际问题。
了解了大学、高中的课程内容结构之后,对初中内容领域的划分就不难理解了。在初中阶段,刚刚开始接触函数,没有太多展开,把函数与运算合为一体,成为数与代数;在初中与几何主线相对应的是“图形与几何”;统计概率主线不变;与应用主线相一致的内容是“综合与实践”。
实际上,上述分类只是帮助大家有一个整体的认识,这些分类、领域之间并不是割裂开的,是相互联系,相互影响的。“数与代数”的学习是学习其他领域的基础;“图形与几何”的学习有助于直观认识和理解其他领域;“统计概率”的学习离不开“数与代数”、“图形与几何”的知识;“综合与实践”的学习更是建立在其他三个领域之上,是对这三个领域内容的综合与实践。

整体把握初中数学课程 ——数与代数
首都师范大学 王尚志教授
北京大学附属中学 初中数学部主任 鲍静怡
对初中“数与代数”组成的主要“脉络”,有很多种看法,在这里我们提供一种脉络,供老师参考。数学与代数由两个基本脉络组成:数、字母与运算;量、关系与模型。数与代数的基本结构可以如下图表示:
一、数、字母与运算
第一个角度:运算的对象。在初中主要的运算对象有两个:一个是数,另外一个是字母。通过对数和字母的运算能产生一系列公式。字母是单项式,单项式的和就是多项式,多项式相除就产生了分式,再加上开方、平方等运算,就产生了代数式,所以所有的数与代数的概念,用不严格的话来说都是算出来的。
第二个角度:运算的背景。要知道为什么进行加、减、乘、除,只有不断的理解它们的含义,才有可能灵活的运用这些运算来帮助我们解决问题。
第三个角度:运算的法则。在初中阶段学习了一系列的运算法则,比如说结合律、交换律、分配律;还有括号先运算,先乘除后加减,等式的运算性质。我们希望不仅要教给学生这些运算的法则,而且要帮助学生去体会,我们为什么要制定这些法则。希望老师们能够理解运算法则的作用是要保证运算结果的唯一性。
第四个角度:运算的应用。就是我们学会了这么多的运算,到底有什么用,在哪儿能发挥他的作用,我想这件事情也是非常重要的。
第五个角度:精确计算和近似计算。是我们在运算中精确的运算,也有近似的运算,小学叫估算,到初中我们引入了近似计算,或者逼近的概念,那么这一些对于运
算本身来说都是重要的,所以我们希望通过对于数、字母和运算的认识,我们知道所谓计算能力的提升不仅仅是算的快,而是包含了我们对于整个数与代数的认识。
二、量、关系与模型
“关系”是初中数学课程的一个焦点问题,包括等量的关系、不等量关系、变量间的关系等。模型、方程是关系的固化,对关系的理解我们从以下四个角度展开,这里将上述框图中的常量模型和变量模型放在一起讨论:
第一个角度:从算术到代数。在初中要帮助学生完成从算术到代数的过渡。首先要清楚算术和代数的差异,算术是一个一个的解决问题,是通过算具体的数解决问题;代数是一类一类的解决问题,是通过算字母或代数式解决问题。在算术的学习过程中,如何渗透代数的思想,如何帮助学生顺利的学好代数是初中和小学教师都要关注的一个问题。
第二个角度:从常量到变量。希望帮助孩子初步的理解常量的模型,常量的模型最重要的是方程和不等式,方程在初中阶段主要帮助孩子理解的是一元一次方程,一元二次方程和二元一次方程组,这在整个方程理论中是最最重要的基础。
第三个角度:常量模型和变量模型。所谓常量模型主要是指方程、不等式。所谓变量的模型,主要是指函数的模型。那么在初中阶段,不仅要帮助学生建立起识别常量和变量,还要帮学生知道变量与变量间的依赖关系,一个量的变化,可能会引起另一个量的变化,这是函数最根本也是最重要的一个描述,函数干什么的,函数是研究变化,而变量是支撑变化的基本概念。
第四个角度:模型的分类、识别和确定——简单的数学建模。要帮助孩子初步的学会对于模型的分类、识别、确定,在数学建模过程中,体现了我们的抽象过程、推理思想和模型思想,这些应该支撑起整个数与代数的内容,所以希望老师可以用自己的语言、自己的思考,构建起一个自己的对于数与代数的整体认识,有一个整体的理解,而不是把知识变成一堆知识点,一个知识点一个知识点的教,那样只能给学生支离破碎的、不完整的数学,缺乏体系。

专题三 数与代数内容分析与教学建议
省课程专家 姜仲平 刘建宇
数与代数部分是义务教育阶段数学课程的重要内容。其学习内容的主线是:从数及数的运算到代数式及其运算,再到方程和解方程、函数„„,体现了表示方法的抽象和运算的逐步抽象。本质上从两个角度理解:一是从数的扩充角度,从常量到变量;二是从关系的角度,从数量关系的等量关系到不等关系、变化关系。
本模块将和大家一起学习以下三个话题:
话题一 代数课程领域的核心概念及其教学
课程的核心概念是一类课程内容的核心或聚焦点,数学课程的核心概念本质上体现的是数学的基本思想,即关于数学抽象、数学推理和数学模型的思想,它们是数学课程、特别是数学课堂教学的主要目标点。义务教育《数学课程标准》(2011版)(以下简称《标准》)在课程内容栏目中与初中代数课程密切相关的主要包括:符号意识、运算能力、推理能力、模型思想。
符号意识和运算能力与数学抽象、数学推理联系较为密切,推理能力与数学推理直接相连,而模型思想就反映了数学模型的思想。
首先谈符号意识。数学符号包括数字、字母、图形、关系式等,数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如,数源于对数量本质(多与少)的抽象,数的运算也是对具体操作步骤的抽象;进一步,代数的出现使得字母可以像‘数’那样进行运算,而且通过符号运算得到的结果具有一般性。符号意识就是学生在认识、运用数学符号方面的主动性反应。
所以教学过程中培养学生符号意识的重心就应当是让学生能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性;理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
其次谈运算能力。运算包括精确计算和估算。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力,它是运算技能与逻辑思维等的有机整合。
运算蕴含在运用数学概念、法则、公式解决问题的过程中。但需要明确的是,运算能力的形成不能一蹴而就,它的发展是从简单到复杂,从低级到高级,从具体到抽象,有层次地进行。这个发展要表现出适度性和层次性。
再谈推理能力。数学推理是从一些数学命题推出另一个数学命题的思维形式。它包括合情推理和演绎推理两类:
合情推理:特殊→特殊 特殊→一般 或然性推理
演绎推理:一般→特殊 必然性推理
合情推理获得猜想,发现结论
演绎推理验证猜想,证明结论
可以让学生感悟,有些问题是可以通过具体问题“概括”出结论,然后通过一般性证明来验证自己所发现结论的,这就是数学推理过程,或者说,数学推理能力就表现在这样的思维过程之中。
最后谈谈模型思想。数学模型,就是采用形式化的数学语言,抽象地、概括地表征研究对象的主要数学特征和关系的一种数学结构。数学建模就是通过建立数学模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。模型思想的本质体现了数学与外部世界的联系,是有效应用数学解决外部问题的基本途径。
模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟,使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。
话题二 数与代数内容结构分析及其教学
初中代数的主要研究对象是:符号(数、字母等),运算(四则
运算、乘方、开方),数量关系(等量、不等、变化规律),模型(方程、不等式、函数)。 数量关系是核心,符号和运算是刻画数量关系的重要语言,方程、不等式与函数是刻画数量关系的数学模型。
(一)数与式
初中阶段有关数的教学内容主要是完成两次数系的扩充(第一次数系扩充:正数、零→有理数;第二次数系扩充:有理数→实数 )。
完成一个数系的扩充,需要做的事情包括:引入一个新的对象,建立相关概念;定义相应的运算法则、明确运算律。所以,学生的学习过程就应是:引入负数(无理数)、定义有理数(实数)的运算、明确运算律,并且保证新的运算与先前的运算不矛盾。
数的学习关键是“表示法”和“运算”。其中,表示法比较新——相对小学而言,多了方向的要素,学生可能开始不习惯,这里,借助数轴可以对教学有所帮助;其次,运算则更多地体现为相似——从运算法则到运算律。所以可以采用类比以往运算的方式,让学生从实例中归纳出运算律。这样不仅可以加深学生对知识的理解,还可以发展他们的归纳与类比能力。数的运算:类比以往的运算,通过实例归纳出运算律。需要注意的是,最简二次根式的引入主要是明确相关运算的要求——算到哪一步为准,而不希望引入复杂的根式运算。
与数相类似,字母符号的教学内容主要是字母表示数和代数运算,代数运算就是加、减、乘、除、乘方和开方等。所以,通常将代数式按照对字母进行运算的种类进行分类,从而形成如下代数式的体系结构:
整式有理式代数式分式 二次根式
由此可见,代数式的教学过程中,字母表示数是基础,运算是核心。应当在学习加、减、乘、除和乘方、开方等运算过程中,深化对字母表示数含义的理解。对代数式运算的学习而言,加、减、乘、除和乘方、开方是根本;代数式化简与因式分解是运算目标(本质上属于对代数运算的应用);“求代数式的值”则是沟通数与式的桥梁。
代数就是“字母代表数”。它的作用是可以用一个抽象的字母表
示任何具体的数。从历史上看,代数产生的重要标志是“字母(特别是表示未知数的字母)可以加入到运算中来,而不仅仅是数了”。它是实现我们前面提到的“符号意识”的基本保证。进一步,由字母和运算符号连接起来的代数式就成为了学习对象。
学习这些内容能帮助学生建立数感与符号意识,提升运算能力。为进一步学习方程、函数等后续学习打下基础。
字母表示数不仅仅是学习代数式的基础,更是整个代数的基础。
所以,应将它贯穿于学习数与代数的始终。在实际教学中可从以下方面做些努力:
1.关注学生已有的体验与经验,重视中小衔接;
2.重视借助现实情境和简单问题中数量关系学习用字母表示数;
3.运用求代数式的值促进对字母表示数的理解。
关于代数式运算的难易程度的把握要注意:
1.多项式相乘,仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘;
2.乘法公式,只要求两组公式:(a+b)( a- b) = a2- b2和(a±b)2 = a 2±2ab + b 2;因此,利用公式法进行因式分解也同样限于这两组公式,而且限定直接利用公式不超过二次。教学与考试中,要严格恪守此项规定;
3.因式分解,提取公因式法和公式法是实施因式分解的基本方法,是通法;十字相乘法固然也是完成因式分解的一种方法,但不是通法,教学中可以介绍给学生,不宜要求过高,训练过多,也不宜过于强调技巧;
4. 二次根式,根号下仅限于数,不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算,
等,更不要求对根号下的字母进行讨论。 (二)方程与不等式
方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型。在初中阶段的学习对象包括:方程与方程组的概念,表示方法;一元一次方程,二元一次方程组,三元一次方程组(选),一元二次方程;不等式与不等式组的概念,表示方法;一元一次不等式,一元一次不等式组。
方程主要内容包括:按照具体的等量关系建立方程或方程组,求解方程或方程组,应用相关知识和方法解决问题。
不等式主要内容包括:按照具体的不等量关系建立不等式或不等式组,不等式或不等式组,应用相关知识和方法解决问题。
方程的基本结构是:

不等式的基本结构是:
不等式(组)主要是一元一次不等式、一元一次不等式(组)。
这部分内容主要变化包括:
1. 新增选学:能解简单的三元一次方程组;
2. 新增:会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等;
3. 新增选学:了解一元二次方程的根与系数的关系;
4. 删去“一元一次不等式组的应用”。
其基本含义是:通过研究解简单的三元一次方程组,让学生深刻体会化归的数学思想方法;学习“用判别式判别方程根的情况”,可以使学生加深理解根的丰富内涵,为后续沟通方程与函数做铺垫;而“根与系数的关系”,揭示了一元二次方程根与系数的内在联系,有利于学生深刻体会确定方程的要素。需要说明的是:选学是指“教材必须编,教师可以教、可以不教,中考不允许考”。它们仅仅服务于那些希望了解更多数学的学生;删去“一元一次不等式组的应用”则是从难度上考虑,而且高中将要学习线性规划,这两个内容容易重复。
由于“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系,相辅相成,共同形成对数量关系的完整的认识。所以相对方程(组)来说,不等式(组)的学习要求有明显的“类似”感觉。这样的学习过程也突出了认识过程的“移迁”特点,既有助学生认识知识、也利于构建知识网络;还对体会数学思维的特点,提高独立思考的水平和能力有帮助。
需补充一点,《标准》上要求:经历估计方程解的过程。估算是利用方程解决实际问题的过程中重要的方法和策略。一方面,大量的实际问题只要求估算其结果,说明估算具有重要的使用价值;另一方面,在实际生活中,我们所碰到的方程中绝大多数无法求得精确解。而我们只要借助计算器等计算工具也可以估计它的解,从而达到解决问题的目的。所以,估计方程的解是一种方法,很有实用价值。而且,估计方程解的过程,也有利于学生直观地探究方程的性质,初步感悟,通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。需要大家予以足够的重视,贯穿于学习方程与方程组的全过程。
最后,谈谈研究解决实际问题。它既是学习方程、不等式的出发点,又是学习方程、不等式的落脚点。所以需要我们投入足够的时间和精力,务求有所突破,确有实效。在教学中要注意以下几个问题:
1.问题背景要尽可能贴近学生生活的、有现实意义的、富有挑战性的,从而激发学生学习的兴趣;
2.开展形式多样的数学活动,给学生足够的思考时间,引导和组 织学生在独立思

文档信息:

  • 大小:915KB
  • 页数:65页
  • 格式:doc格式

点击图片查看更多:


隐藏内容: ********, 支付¥5.00下载

发表评论

您必须才能发表评论!