高中数学知识点总结

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摘要

__高中数学常用公式及常用结论____1元素与集合的关系__xAxCUA_xCUAxA2德摩根公式__CUABCUACUBCUABCUACUB__3包含关系__ABAABBABCUBCUAACUBCUABR__4容斥原理__cardABcardAcardBcardAB__cardABCcardAcardBcardCcardAB__cardABcardBCcardCAcardABC__5.集合{a1_a2__an}的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1__个;非空的真子集有2n–2个__6二次函数的解析式的三种形式__1一般式fxaxbxca02顶点式fxaxhka03零点式fxaxx1xx2a07解连不等式NfxM常有以下转化形式__2__2__NfxM[fxM][fxN]0__fxNMNMN__0||fx__Mfx22__11____fxNMN__8方程fx0在k1_k2上有且只有一个实根_与fk1fk20不等价_前者是后__者的一个必要而不是充分条件特别地_方程axbxc0a0有且只有一个实根在__2__k1_k2内_等价于fk1fk20_或fk10且k1k1k2b__k222a__9闭区间上的二次函数的最值__bk1k2___或fk20且__2a2__二次函数fxaxbxca0在闭区间p_q上的最值只能在x__2__b__处及区2a__间的两端点处取得,具体如下:__1当a0时,若x__bb__则fxp_q,nmf_xi__2a2a__xmaxma__f_pfq;__b__p_q,fxmaxmaxfp_fq,fxminminfp_fq2a__b__iminfpfq若2当a0时,若xp_q,则fxm_,n__2a__b__xp_q,则fxmaxmaxfp_fq,fxminminfp_fq__2a__x__10一元二次方程的实根分布__依据:若fmfn0,则方程fx0在区间m_n内至少有一个实根设fxx2pxq,则__p24q0__(1)方程fx0在区间m_内有根的充要条件为fm0或p;__m2__fm0fn0__(2)方程fx0在区间m_n内有根的充要条件为fmfn0或p24q0____mpn2__fm0fn0或或;__afn0afm0__p24q0__(3)方程fx0在区间_n内有根的充要条件为fm0或p__m2__11定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据__1在给定区间_的子区间L(形如_,_,_不同)上含参数的二次不等式fx_t0t为参数恒成立的充要条件是fx_tmin0xL__2在给定区间_的子区间上含参数的二次不等式fx_t0t为参数恒成立的充要条件是fx_tman0xL__a0__a042__3fxaxbxc0恒成立的充要条件是b0或2__b4ac0c0____12____14四种命题的相互关系__15充要条件__(1)充分条件:若pq,则p是q充分条件__(2)必要条件:若qp,则p是q必要条件__(3)充要条件:若pq,且qp,则p是q充要条件__注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然16函数的单调性__1设x1x2a_b_x1x2那么__fx1fx2__0fx在a_b上是增函数;__x1x2__fx1fx2__x1x2fx1fx200fx在a_b上是减函数__x1x2__2设函数yfx在某个区间内可导,如果fx0,则fx为增函数;如果fx0,则fx为减函数__17如果函数fx和gx都是减函数_则在公共定义域内_和函数fxgx也是减函数如果函数yfu和ugx在其对应的定义域上都是减函数_则复合函数yf[gx]是增函数__x1x2fx1fx20__18.奇偶函数的图象特征__奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.__19若函数yfx是偶函数,则fxafxa;若函数yfxa是偶函数,则fxafxa__20对于函数yfxxR_fxafbx恒成立_则函数fx的对称轴是函数x__abab__两个函数yfxa与yfbx的图象关于直线x对称22__a__21若fxfxa_则函数yfx的图象关于点_0对称若__2__fxfxa_则函数yfx为周期为2a的周期函数__nn1__22.多项式函数Pxanxan1xa0的奇偶性__多项式函数Px是奇函数Px的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数Px是偶函数Px的奇次项即偶数项的系数全为零23函数yfx的图象的对称性__1函数yfx的图象关于直线xa对称faxfaxf2axfx__ab__2函数yfx的图象关于直线x对称famxfbmx__2__fabmxfmx__24两个函数图象的对称性__1函数yfx与函数yfx的图象关于直线x0即y轴对称2函数yfmxa与函数yfbmx的图象关于直线x3函数yfx和yf__1__ab__对称2m__x的图象关于直线y=x对称__25若将函数yfx的图象右移a、上移b个单位,得到函数yfxab的图象;若将曲线fx_y0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线fxa_yb0的图__象__26.互为反函数的两个函数的关系__fabf1ba__27若函数yfkxb存在反函数_则其反函数为y__11__[fxb]_并不是k__1__y[f1kxb_而函数y[f1kxb是y[fxb]的反函数__k__28几个常见的函数方程__1正比例函数fxcx_fxyfxfy_f1c__2指数函数fxa_fxyfxfy_f1a0__3对数函数fxlogax_fxyfxfy_fa1a0_a14幂函数fxx_fxyfxfy_f1______x__5余弦函数fxcosx_正弦函数gxsinx,fxyfxfygxgy,__f01_lim__x0__gx__1x__29几个函数方程的周期约定a0__(1)fxfxa,则fx的周期T=a;(2)fxfxa0,__1__fx0,fx1__或fxafx0___fx__1或fxa_fx0_1_则fx的周期T=2a;2__1__3fx1fx0,则fx的周期T=3a;__fxa__fx1fx2__4fx1x2且fa1fx1fx21_0|x1x2|2a,则__1fx1fx2__fx的周期T=4a;__5fxfxafx2afx3afx4a__fxfxafx2afx3afx4a_则fx的周期T=5a;6fxafxfxa,则fx的周期T=6a__或fxa30分数指数幂__1a2a__mn______mn__1__mn__(a0_m_nN,且n1)(a0_m_nN,且n1)______a__n__31.根式的性质(1__)a__(2)当n__a;当n__|a|32.有理指数幂的运算性质1aaa__rsr__rsrr__r__s__rs__a_a0____a_a0__a0_r_sQ__2aaa0_r_sQ__3ababa0_b0_rQ__p__注:若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用__33指数式与对数式的互化式____logaNbabNa0_a1_N0__34对数的换底公式__logmN__a0_且a1_m0_且m1_N0__logma__n__推论logambnlogaba0_且a1_m_n0_且m1_n1_N0__mlogaN__35.对数的四则运算法则__若a>0,a≠1,M>0,N>0,则1logaMNlogaMlogaN__M__logaMlogaNNn__3logaMnlogaMnR__2loga__2__36设函数fxlogmaxbxca0_记b4ac若fx的定义域为__2__R_则a0,且0若fx的值域为R_则a0,且0对于a0的情形_需要__单独检验__37对数换底不等式及其推广__1___则函数ylogaxbxa11__1当ab时_在0_和_上ylogaxbx为增函数__aa11__,2当ab时_在0_和_上ylogaxbx为减函数__aa__若a0_b0_x0_x__推论设nm1,p0,a0,且a1,则(1)logmpnplogmn(2)logamloganloga__2__mn__2__38平均增长率的问题__如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有__yN1px__39数列的同项公式与前n项的和的关系__n1s1___an数列{an}的前n项的和为sna1a2an__ss_n2nn1__40等差数列的通项公式__ana1n1ddna1dnN;__其前n项和公式为__na1annn1__na1d22d1__n2a1dn22sn__41等比数列的通项公式__ana1qn1__a1n__qnN;q__其前n项的和公式为__a11qn___q1__sn1q__na_q11__a1anq___q1__或sn1q__na_q11__42等比差数列anan1qand_a1bq0的通项公式为__bn1d_q1__anbqndbqn1d;___q1q1__其前n项和公式为__nbnn1d_q1__snd1qnd__bn_q11qq11q__43分期付款按揭贷款__ab1bn__每次还款x元贷款a元_n次还清_每期利率为b__1bn1__44.常见三角不等式(1)若x0_2若x__0_____2__,则sinxxtanx__,则1sinxcosx2__3|sinx||cosx|1__45同角三角函数的基本关系式____sin2cos21,tan=__46正弦、余弦的诱导公式__sin__,tancot1s__n____n12sin_sinn1__212cos_______n____cos_n12__cosn1__212sin___47和角与差角公式__sinsincoscossin__coscoscossinsin__tantan__tan__1tantan__sinsinsin2sin2平方正弦公式coscoscos2sin2__asin__bcos=辅助角所在象限由点a_b的象限决__b__定_tan__a__48二倍角公式__sin2sincos__cos2cos2sin22cos2112sin2__2tan__tan22__1tan__49三倍角公式__sin33sin4sin34sinsinsin__33cos34cos33cos4coscoscos333tantan3__tan3tantantan2__13tan33__50三角函数的周期公式__函数ysinx,x∈R及函数ycosx,x∈RA_ω_为常数,且A≠0,ω>0的周期T________2____;函数ytanx,xk____2___kZA_ω_为常数,且A__≠0,ω>0的周期T__51正弦定理____abc__2RsinAsinBsinC__52余弦定理__a2b2c22bccosAb2c2a22cacosBc2a2b22abcosC__53面积定理__111__ahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)222111__(2)SabsinCbcsinAcasinB__222__3SOAB(1)S__54三角形内角和定理__在△ABC中,有ABCCAB____CAB__2C22AB__222__k__55简单的三角方程的通解__sinxaxk1arcsinakZ_|a|1sxax2karccosakZ_|a|1__tanxaxkarctanakZ_aR__特别地_有__sinsink1kkZ__coscos2kkZ__tantankkZ__56最简单的三角不等式及其解集__sinxa|a|1x2karcsina_2karcsina_kZ__sinxa|a|1x2karcsina_2karcsina_kZsxa|a|1x2karccosa_2karccosa_kZ__cosxa|a|1x2karccosa_2k2arccosa_kZ__tanxaaRxkarctana_k____2___kZ__tanxaaRxk____2___karctana_kZ__57实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么__1结合律:λμa=λμa__2第一分配律:λ+μa=λa+μa3第二分配律:λa+b=λa+λb58向量的数量积的运算律:__1a·b=b·a(交换律)2(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b)3(a+b)·c=a·c+b·c59平面向量基本定理__如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.__不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60.向量平行的坐标表示__设a=x1_y1_b=x2_y2,且b0,则abb0x1y2x2y1053a与b的数量积或内积a·b=|a||b|cosθ.61a·b的几何意义__数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.62平面向量的坐标运算__1设a=x1_y1_b=x2_y2,则a+b=x1x2_y1y2____3设Ax1_y1,Bx2_y2_则ABOBOAx2x1_y2y1__4设a=x_y_R,则a=x_y__5设a=x1_y1_b=x2_y2,则a·b=x1x2y1y2__63两向量的夹角公式____2设a=x1_y1_b=x2_y2,则a-b=x1x2_y1y2__cos__a=x1_y1_b=x2_y2__64平面两点间的距离公式____d__A_B=|AB|Ax1_y1,Bx2_y2__65向量的平行与垂直__设a=x1_y1_b=x2_y2,且b0,则A||bb=λax1y2x2y10aba0a·b=0x1x2y1y2066线段的定比分公式____PP2,则设P112的分点_是实数,且PP1x1_y1,P2x2_y2,Px_y是线段PP__x1x2xOP11OP2__OP__yy12y1__1__1__1tOP()tOPtOP12__1__67三角形的重心坐标公式__

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