实验——matlab

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摘要

__MATLAB数学实验____从数学本身的发展来看,今日数学已不仅是一门科学,还是一种关键的普遍适用的技术。随着信息时代的到来,计算机技术的发展已经对我们的生活产生了十分巨大的影响。新一代计算机的出现使人们学数学和利用数学解决问题的方法正在发生着显著的变化。计算机最明显的功能就是高速度地进行大量的计算,这种高速计算使得过去无法求解的问题成为可能。人们可以将所要研究的问题的数学模型转换为让计算机进行运算的形式,由计算机进行大量计算,甚至证明与推导,得出某种新的结论或新的发现。传统的数学被认为是一个十分严格的王国,是沿着定义→假设→定理→证明(而且是严格的证明)→推论这么一条演绎的道路进行的。但是四色定理被声称用机器证明后,人们开始怀疑:数学中是否有单靠人脑根本解决不了而必须用计算机才能解决的复杂问题?于是,许多人开始考虑用计算机进行实验的方式来研究数学。归纳的方法和实验的手段发展数学和学习数学又重新引起了学术界的兴趣。特别是一些自称为“实验数学家”的新潮数学家正在创立一种新的数学研究方法,即主要通过计算机实验从事新的发展。在这些数学家看来,数学正在成为一门“实验科学”。__从数学教育方面来看,数学教育的侧重点必须随着计算机在数学中应用的方式而有所改变。一些原来引以自豪的能力,例如很强的符号演算能力可能变得不再那么有价值了。而人们的工作将主要是建立解决问题的模式,进而操纵、指挥计算机工作。这样,人们就有可能摆脱机械性的工作细节,而把注意力集中到更有价值的创造性的问题上。我们的数学教学应该顺应数学发展的形势,鼓励学生用数学去解决问题,甚至用于探索一些数学本身的问题。所以我们在数学教学中不仅要培养学生的逻辑推理能力,空间想象能力和运算能力,还要培养数学建模能力与数据处理能力,加强在“用数学”方面的教育。而数学实验正是实现这一目标的一种非常好的教学模式。__“实验”虽然是数学的基本方法之一,但“数学实验”则是近年来才被数学教育界提出的一个名词。它是根据数学研究的目的以及数学对象本身的特征,人为地、模拟地创设有利于观察与思考的条件,从而把数学对象的本质与规律暴露出来的一种方法、一种活动。__通俗地讲,数学实验就是为获得某种数学理论,检验某个数学猜想,解决某个数学问题,实验者运用一定的物质手段,在数学思维活动的参与下,在特定的实验环境下进行的探索、研究活动。如运筹学中的“图上作业法”,华罗庚的优选法、统筹法、数理统计中的试验设计等均属于数学实验的范畴。____实验一Matlab入门及简单应用____一、Matlab入门__1Matlab简介MATLAB代表MatrixLaboratory_它最早是CleveMoler博士于1980年在新墨西哥大学讲授线性代数课程时为学生编写的使用LINPACK和EISPACK软件包的接口程序,主要是为了方便矩阵的存取。经过多年的开发和完善,MATLAB已成为一个具有高性能数值计算和可视化功能的科学计算平台。它集成了数值计算、矩阵计算和图形绘制等众多功能,具有简单易行的环境,问题的提出和解答只需以数学方式表达和描述,不需要大量原始而传统的编程过程,这样可以花费较少的时间来解决众多的数值问题,因此它特别适用于研究、解决工程中的各种数学问题。__2MATLAB的数值运算进入MATLAB之后,会看道到一个视窗MATLABCommandWindow称为指令视窗,它是你键入指令的地方也是MATLAB将计算结果显示在此。而在它的功能选单一共有File_Edit_Options_Windows_Help五个主要功能,每一个之下各又有下一层的功能,我们会在后面相关的地方说明。像计算器一样,数学式的计算是直接了当。如果我们要算1+2+3及1×10+2×20+3×30这二个式子,以下例子接著提示符号之后的是要键入的算式,MATLAB将计算的结果以ans显示。如果算式是x=1+2+3,MATLAB将计算的结果以x显示。1+2+3ans=6__110+220+330ans=140x=1+2+3x=6__如果在上述的例子结尾加上,则计算结果不会显示在指令视窗上,要得知计算值只须键入该变数值即可x=1+2+3xx=6__MATLAB提供基本的算术运算有:加+、减-、乘、除、幂次方。【例1611】求__的算术运算结果。__(1)用键盘在MATLAB指令窗中输入以下内容12+27-432__(2)在上述表达式输入完成后,按【Enter】键,该就指令被执行。(3)在指令执行后,MATLAB指令窗中将显示以下结果。__ans=2__【例1612】计算____x=2100__x=12677e+030其中e+030表示为____【例1613】简单矩阵__(1)在键盘上输入下列内容__的输入步骤。__A=[1_2_34_5_67_8_9]__(2)按【Enter】键,指令被执行。__(3)在指令执行后,MATLAB指令窗中将显示以下结果:__A=__123456789__【例1614】矩阵的分行输入__A=[1_2_34_5_67_8_9]A=__123456789__【例1615】指令的续行输入__S=1-12+13-14+__15-16+17-18S=__063453特殊变量__ans用于结果的缺省变量名pi圆周率__eps计算机的最小数inf无穷大如10NaN不定量如00__i(j)i=j=__【例1616】计算半径为了3cm的圆的周长和面积l=2pi3l=188496s=pi32s=282743__Matlab中使用的普通数学函数有sqrtx平方根expx指数函数____logx自然对数函数__sinx_cosx_tanx_cotx_secx_cscx三角函数__asinx_acosx_atanx_acotx_asecx_acscx反三角函数absx的绝对值__【例1617】计算的近似值cospi9ans=09397__二、联机求助系统__Help求助命令很有用_它对Matlab大部分命令提供了联机求助信息你可以从Help菜单中选择相应的菜单项_打开求助信息窗口查询某条命令_也可以直接用Help命令__例如使用“help”命令可以得到所有联机求助信息的分类列表使用“help指定项目”可以得到具体命令使用方法的信息如你可以使用Helpinv__命令查询求逆矩阵的inv函数的使用方法信息使用Help__命令可以得到如何使用冒号方面的信息__习题16-1____1打开matlab的工作界面_了解各窗口的主要功能2打开matlab的帮助浏览器_了解其使用方法3计算4已知__的近似值_计算__的值__实验二用matlab绘制一元函数与二元函数的图象____1.平面曲线的表示形式__对于平面曲线,常见的有三种表示形式,即以直角坐标方程yfx_x[a_b],以参数方程__xxt_yyt_t[a_b],和以极坐标rr_[a_b]表示等三种形式。__2.曲线绘图的MATLAB命令__MATLAB中主要用plot_fplot二种命令绘制不同的曲线。__可以用helpplot_helpfplot查阅有关这些命令的详细信息__例1621作出函数ysinx_ycosx的图形,并观测它们的周期性。先作函数ysinx在[4_4]上的图形,用MATLAB作图的程序代码为:__x=linspace-4pi_4pi_300产生300维向量xy=sinx__plotx_y二维图形绘图命令__结果如图11,上述语句中后面如“产生300维向量x”是说明性语句,无需键入。__图11的图形__此图也可用fplot命令,相应的MATLAB程序代码为:clearcloseclear清理内存;close关闭已有窗口。fplotsinx_[-4pi_4pi]结果如图12__图12ysinx的图形__如果在同一坐标系下作出两条曲线ysinx和ycosx在[2_2]上的图形,相应的MATLAB程序代码为:__x=-2pi2pi302pi产生向量xy1=sinxy2=cosx__plotx_y1_x_y2_‟‟‟‟表示绘出的图形是点线__结果如图13其中实线是ysinx的图形,点线是ycosx的图形。__图13的图形__例1622将例1得到的图形用不同的线型及颜色加以绘制。__x=-2pi2pi302pi产生向量xy1=sinxy2=cosx__plotx_y1_x_y2_‟gp‟‟gp‟表示绘出的图形是绿色五角星线结果如图14____例1623作出以极坐标方程ra1cos_a1_[0_2]表示的心脏线相应的MATLAB程序代码为:__clearclose__t=02pi302pir=1+cost__x=rcosty=rsint极坐标转化为直角坐标plotx_y__结果如图15____3.曲面绘图的MATLAB命令__MATLAB中主要用mesh_surf命令绘制二元函数图形。__可以用helpmesh_helpsurf查阅有关这些命令的详细信息例1624画出函数的程序代码为:__clear__x=-3013x的范围为[-3_3]y=-3013y的范围为[-3_3]__[X_Y]=meshgridx_y将向量x_y指定的区域转化为矩阵X_YZ=sqrtX2+Y2产生函数值ZmeshX_Y_Z____z__x2y2__的图形_不妨将区域限制在x_y[3_3][3_3]。用MATLAB作图__结果如图51。图51是网格线图_如果要画完整的曲面图_只需将上述的MATLAB代码meshX_Y_Z改为__surfX_Y_Z_结果如图52____图51锥面____图52锥面____要画等高线_需用contour_contour3命令其中contour为二维等高线_contour3为三维等高线_如画图51的三维等高线_MATLAB代码为:__clear__x=-3013y=-3013__[X_Y]=meshgridx_yZ=sqrtX2+Y2__contour3X_Y_Z_10画10条等高线__xlabelX-axis_ylabelY-axis_zlabelZ-axis三个坐标轴的标记titleContour3ofSurface标题gridon画网格线__结果如图53__图53等高线__如画图51的二维等高线_MATLAB代码为:clearx=-3013y=-3013__[X_Y]=meshgridx_yZ=sqrtX2+Y2contourX_Y_Z_10__xlabelX-axis_ylabelY-axistitleContourofSurfacegridon__结果如图54__图54等高线__如果要画z1的等高线,则用命令__clearx=-3013y=-3013__[X_Y]=meshgridx_yZ=sqrtX2+Y2contourX_Y_Z_[11]__结果如图55。__图55等高线____习题16-2__1画出下列各函数的图形__3yx1立方曲线2立方抛物线yx__sinx__2yx__yex3高斯曲线41__y1x__x6y3sinx2cosx5__2画出空间曲线__t_1x2sint_ycost_z4t_z=4t___z__2__10sinx2y2__x2y2__在30x_y30范围内的图形,并画出相应的等高线。__22zxy3画出函数的图形_不妨将区域限制在x_y[1_1][1_1]。__实验三用matlab求极限和导数____1求极限、导数的MATLAB命令__MATLAB中主要用limit_diff分别求函数的极限与导数。__可以用helplimit_helpdiff查阅有关这些命令的详细信息__ycos__例1首先分别作出函数__1__x在区[-1_-001]_[001_1]_[-1_-0001]_[0001_1]等区间上的图形,观测图形__在x__0附近的形状。在区间[-1_-001]绘图的MATLAB代码为:x=-100001-001y=cos1xplotx_y结果如图21__ycos__图21函数__1__x的图形__根据图形,能否判断出极限x0__limcos__11_limsinxx0x的存在性?__当然,也可用limit命令直接求极限,相应的MATLAB代码为:__clear__symsx说明x为符号变量__limitsin1x_x_0__limsin__结果为ans=-11,即极限值在-1,1之间,而极限如果存在则必唯一,故极限__x0__1__x不存在,同样,极__limcos__限__x0__1__x也不存在。__y__例2首先分别作出函数__sinx__x在区间[-1_-001]_[001_1]_[-1_-0001]_[0001_1]等区间上的图形,观测图__形在x0附近的形状。在区间[-1_-001]绘图的MATLAB代码为:x=-100001-001y=sinxxplotx_y结果如图22__y__图22函数__sinx__x的图形__sinx__1__x0x根据图形,能否判断出极限的正确性?__lim__当然,也可用limit命令直接求极限,相应的MATLAB代码为:__clearsymsx__limitsinxx_x_0结果为ans=1__11__an1nAn1n1__n和n例3观测当n趋于无穷大时,数列的变化趋势。例如,当n1_2__100时,计算an_An的MATLAB代码为:__forn=1100_an=1+1nn_An=1+1nn_end__在同一坐标系中,画出下面三个函数的图形:____观测当x增大时图形的走向。例如,在区间[10,400]绘制图形的MATLAB代码为__x=1001400__y1=expxlog1+1xy2=expx+2log1+1xy3=271828plotx_y1_-_x_y2__x_y3_-‟-‟表示绘出的图形是点线_‟-‟是实线__1__y1x___x1__y1x1___x__ye__11__y1x1y1x__xx的图形。结果如图23,其中点线表示的图形,虚点线表示__

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