4.示范教案(3.2 简单的三角恒等变换)

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摘要

32简单的三角恒等变换__整体设计__教学分析__本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换_以及三角恒等变换在数学中的应用本节的内容都是用例题来展现的_通过例题的解答_引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析_促使学生形成对解题过程中如何选择公式_如何根据问题的条件进行公式变形_以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识_从而加深理解变换思想_提高学生的推理能力__本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上_从而使三角函数性质的研究得到延伸三角恒等变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换,变换内容比较单一而对于三角变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,还要考虑三角函数式所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点三维目标__1通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式_体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力__2理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形_体会三角恒等变换在数学中的应用__3通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力重点难点__教学重点:1半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练__2三角变换的内容、思路和方法_在与代数变换相比较中_体会三角变换的特点__教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力课时安排2课时__教学过程第1课时__导入新课__思路1我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角函数主要有以下三个基本的恒等变换:代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换,本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换__思路2三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换学习了和角公式,差角公式,倍角公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活,同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台对于三角变换_由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异_而且还会有所包含的角_以及这些角的三角函数种类方面的差异_因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系_并以此为依据选择可以联系它们的适当公式_这是三角式恒等变换的重要特点__推进新课新知探究提出问题①α与__a__有什么关系2__a__之间的关系?2__a1cosaa1cosaa1cosa2__③sin2=,cos2=,tan2=这三个式子有什么共同特点?__22221cosa__②如何建立cosα与sin2__④通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗__1__[sinα+β+sinα-β]2__cos2sinθ+sinφ=2sin22__⑤证明1sinαcosβ=__并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同?__aa___将公式中的α用代22__aa__替_解出sin2即可教师对学生的讨论进行提问,学生可以发现:α是的二倍角在倍角公__22__aa__式cos2α=1-2sin2α中_以α代替2α_以代替α_即得cosα=1-2sin2___22__a1cosa__所以sin2=①__22__a__在倍角公式cos2α=2cos2α-1中_以α代替2α_以代替α_即得__2__a__cosα=2cos2-1___2__a1cosa__所以cos2=②__22__活动:教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2将①②两个等式的左右两边分别相除_即得tan2__a1cosa=③21cosa__教师引导学生观察上面的①②③式,可让学生总结出下列特点:1用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数__2由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”即用此式可达到“降次”的目的__教师与学生一起总结出这样的特点_并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到提醒学生在以后的学习中引起注意同时还要强调_本例的结果还可表示为sin__aaacosacosa1cosa=±_cos=±_tan_并称之为半角公式不要求222221cosa__记忆_符号由__a__所在象限决定2__教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出:对于三角变换_由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的__差异因此,三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系,并以此为依据,选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换__对于问题⑤:(1)如果从右边出发,仅利用和(差)的正弦公式作展开合并,就会得出左式但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点,引导学生思考,哪些公式包含sinαcosβ呢?想到sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ从方程角度看这个等式,sinαcosβ,cosαsinβ分别看成两个未知数二元方程要求得确定解,必须有2个方程,这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式,列出sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ后,解相应的以sinαcosβ,cosαsinβ为未知数的二元一次方程组,就容易得到所需要的结果__(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示和的形式,在思路和方法上都与(1)没有什么区别只需做个变换,令α+β=θ,α-β=φ,则α=β=____2__,____2___代入1式即得2式__证明1因为sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ_sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ___将以上两式的左右两边分别相加_得sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ_即sinαcosβ=__1__[sinα+β+sinα-β]2__2由1_可得sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ①设α+β=θ_α-β=φ_那么α=把α_β的值代入①_即得sinθ+sinφ=2sin____2__cos___β=____2________2____2__教师给学生适时引导,指出这两个方程所用到的数学思想_可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想_如把α+β看作θ_α-β看作φ_从而把包含α_β的三角函数式变换成θ_φ的三角函数式另外_把sinαcosβ看作x_cosαsinβ看作y_把等式看作x_y的方程_通过解方程求得x_这就是方程思想的体现__a__的二倍角2__a1cosa②sin2=1-cos__22__讨论结果:①α是③④⑤略见活动)应用示例__思路1__例1化简__1sinxcosx____1sinxcosx__活动:此题考查公式的应用,利用倍角公式进行化简解题教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别,它们的功能各异,本质相同,具有对立统一的关系__xxxxxx2sincos2sinsincos=tanx解原式=__xxxxxx22cos22sincos2coscossin__222222__2sin2__点评:本题是对基本知识的考查,重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系__变式训练__化简sin50°1+tan10°__13__2cos10sin10__3sin101sin50解原式=sin50°cos10cos10__sin30cos10cos30sin10__=2sin50°__cos10sin40sin80cos10__=2cos40°=1__cos10cos10cos10__例2已知sinx-cosx=__1___求sin3x-cos3x的值2__活动:教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简,然后再求解由于a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3aba-b_∴a3-b3=a-b3+3aba-b解完此题后_教师引导学生深挖本例的思想方法_由于sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化提升学生的运算化简能力及整体代换思想本题也可直接应用上述公式求之_即sin3x-cos3x=sinx-cosx3+3sinxcosxsinx-cosx=之中__11__此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题16__11_得sinx-cosx2=_2413__即1-2sinxcosx=_∴sinxcosx=__48__解由sinx-cosx=__∴sin3x-cos3x=sinx-cosxsin2x+sinxcosx+cos2x=__1311__1+=2816__点评:本题考查的是公式的变形、化简、求值_注意公式的灵活运用和化简的方法变式训练__2007年高考浙江卷_12已知sinθ+cosθ=______________答案__13_且≤θ≤_则cos2θ的值是542__7__25__cos4Asin4Acos4Bsin4B__1求证1例1已知__cos2Bsin2Bcos2Asin2A__活动:此题可从多个角度进行探究_由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致_只是将A_B的位置互换了_因此应从所给的条件等式入手_而条件等式中含有A_B角的正、余弦_可利用平方关系来减少函数的种类从结构上看_已知条件是a2+b2=1的形式_可利用三角代换__cos4Asin4A__1_证明一∵22__cosBsinB__∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B∴cos4A1-cos2B+sin4A·cos2B=1-cos2Bcos2B_即cos4A-cos2Bcos4A-sin4A=cos2B-cos4B∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0__∴cos2A-cos2B2=0∴cos2A=cos2B∴sin2A=sin2B__cos4Bsin4B22__∴cosB+sinB=122__cosAsinAcos2Asin2A__cosa_证明二令=sinα___cosBsinB__则cos2A=cosBcosα_sin2A=sinBsinα__两式相加_得1=cosBcosα+sinBsinα_即cosB-α=1∴B-α=2kπk∈Z_即B=2kπ+αk∈Z∴cosα=cosB_sinα=sinB__∴cos2A=cosBcosα=cos2B_sin2A=sinBsinα=sin2B__cos4Bsin4Bcos4Bsin4B__∴=cos2B+sin2B=12222__cosAsinAcosBsinB__点评要善于从不同的角度来观察问题_本例从角与函数的种类两方面观察_利用平方关系进行了合理消元变式训练__在锐角三角形ABC中_ABC是它的三个内角_记S=__11___求证S1__1tanA1tanB__证明∵S=__1tanA1tanB1tanAtanB____1tanA1tanB1tanAtanBtanAtanB__又A+B90°_∴90°A90°-B0°∴tanAtan90°-B=cotB0_∴tanA·tanB1∴S1__思路2__例1证明__1sinxx__=tan+__cosx42__活动:教师引导学生思考,对于三角恒等式的证明,可从三个角度进行推导:①左边→__右边;②右边→左边;③左边→中间条件←右边教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导注意式子左边包含的角为x_三角函数的种类为正弦,余弦,右边是半角类为正切__x__,三角函数的种2__解:方法一:从右边入手,切化弦,得__xxxxxsinsincoscossincossin__x_由左右两边的角之tan+=__xxxxx42__coscossinsincossin__42222222__xx__间的关系,想到分子分母同乘以cos+sin_得__22__xxcossin2__1sinx__xxxxcosxcossinsin__2222__方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,得__xxxx__cossin2cossin__1sinx__xxxxxxcosx__cossincossincossin__222222__由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以cos__x___得2__1tan__xx__tantan=tan+xxx421tan1tantan__242__点评:本题考查的是半角公式的灵活运用,以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法__变式训练____且满足3sin2α+2sin2β=1_3sin2α-2sin2β=0_求α+2β的值2__解法一3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β_即3sin2α=cos2β_①3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β_②__已知α_β∈0___①2+②29sin4α+9sin2αcos2α=1_即9sin2αsin2α+cos2α=1_∴sin2α=__11__∵α∈0__∴sinα=932__1__=13__∴sinα+2β=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinαsin2α+cos2α=3×__3___∴α+2β∈0_∴α+2β=__222__解法二3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α___∵α_β∈0___3sin2α-2sin2β=0sin2β=__3__sin2α=3sinαcosα_2__∴cosα+2β=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0∵α_β∈0___3___∴α+2β∈0_∴α+2β=__222__3__sin2α=sin2β_2__解法三由已知3sin2α=cos2β___两式相除_得tanα=cot2β_∴tanα=tan∵α∈0_____-2β2_____∴tanα0∴tan-2β022____又∵β∈0__∴-2β__2222____结合tan-2β0_得0-2β__222____∴由tanα=tan-2β_得α=-2β_即α+2β=__222sinasintan2__例2求证1222__sincostan__活动:证明三角恒等式_一般要遵循“由繁到简”的原则_另外“化弦为切”与“化切为弦”也__是在三角式的变换中经常使用的方法证明证法一左边=__sincoscossinsincoscossin____sin2cos2__sin2acos2cos2asin2cos2asin2tan2=11=右边∴原式成立__sin2cos2sin2cos2tan2acos2sin2sin2cos2cos2asin2__证法二右边=1-2222__sincossinacos__=__sinacoscosasinsinacoscosasin__22__sincossinasina__=左边∴原式成立22__sincos__=__点评:此题进一步训练学生三角恒等式的变形_灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力变式训练__1sin4cos41sin4cos4____2sin1tan2__1sin4cos42tan__分析:运用比例的基本性质_可以发现原式等价于_此式右边2__1sin4cos41tan__1求证就是tan2θ证明原等式等价于而上式左边__1sin4cos4__tan2__1sin4cos4__2sin2cos2sin2sin41cos42sin2cos22sin22==tan22__2cos2sin2cos2sin41cos42sin2cos22cos2__右边∴上式成立_即原等式得证2已知sinβ=m·sin2α+β_求证tanα+β=__1m__tanα1m__分析仔细观察已知式与所证式中的角_不要盲目展开_要有的放矢_看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和_不妨将α+β作为一整体来处理证明由sinβ=msin2α+βsin[α+β-α]=msin[α+β+α]__sinα+βcosα-cosα+βsinα=m0[sinα+βcosα+cosα+βsinα]1-m·sinα+βcosα=1+m·cosα+βsinα__tanα+β=__知能训练__1m__tanα1m__a5___α在第二象限_则tan的值为__213__11__A5B-5CD__55____2设5πθ6π_cos=α_则sin等于__24__1若sinα=A__aaaaBCD2222__3已知sinθ=__37___3πθ_则tan___________________252__解答__1A2D3-3课堂小结__1先让学生自己回顾本节学习的数学知识和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用_半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系积化和差与和差化积公式及其推导_三角恒等式与条件等式的证明__2教师画龙点睛总结本节学习了公式的使用_换元法_方程思想_等价转化_三角恒等变形的基本手段作业__课本习题32B组2__设计感想__1本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换在解题过程中,应注意对三角式的结构进行分析,根据结构特点选择合适公式,进行公式变形还要思考一题多解、一题多变,并体会其中的一些数学思想,如换元、方程思想,“1”的代换,逆用公式等2在近几年的高考中,对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主,突出对求值的考查特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视,其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方,同时要注意结合诱导公式的应用,应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方考试大纲对本部分的具体要求是:用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,体会向量方法的作用从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用上述公式进行简单的恒等变换__第2课时__导入新课__思路1问题导入三角化简、求值与证明中,往往会出现较多相异的角,我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获得解决,如:α=α+β-β,2α=α+β+α-β=____+α–α,+α=–α等,你44424__能总结出三角变换的哪些策略?由此探讨展开__思路2复习导入前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asinωx+φ的函数,本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质三角函数和代数、几何知识联系密切,它是研究其他各类知识的重要工具高考题中与三角函数有关的问题,大都以恒等变形为研究手段三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧,要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能推进新课新知探究提出问题__①三角函数y=sinx,y=cosx的周期_最大值和最小值是多少?②函数y=asinx+bcosx的变形与应用是怎样的?③三角变换在几何问题中有什么应用?活动:教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾,我们知道正弦函数,余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质而且正弦函数,余弦函数的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期都是2π三角函数的定义与变化时,会对其周期性产生一定的影响,例如,函数y=sinx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0),且最小正周期是2π,函数y=sin2x的周期是kπ(k∈Z且k≠0),且最小正周期是π正弦函数,余弦函数的最大值是1,最小值是-1,所以这两个函数的值域都是[-1,1]函数y=asinx+bcosx=a2b2(__aab__2__2__sinx__a__bab__2__2__cosx)___∵__aab__2__2__2__bab__2__2__21从而可令__ab__22__cos___bab__2__2__sinφ___则有asinx+bcosx=a2b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=a2b2sin(x+φ)__因此,我们有如下结论:asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ),其中tanφ=__b__在以后的学习中a__可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系几何中的角度、长度、面积等几何问题,常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变换来解决几何中的有关问题,是一种重要的数学方法__讨论结果:①y=sinx,y=cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期都是2π;最大值都是1,最小值都是-1②—③略见活动应用示例__思路1__例1如图1_已知OPQ是半径为1_圆心角为____的扇形_C是扇形弧上的动点_ABCD是扇形的3__内接矩形记∠COP=α_求当角α取何值时_矩形ABCD的面积最大并求出这个最大面积活动:要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,先找出S与α之间的函数关系,再求函数的最值__找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决,得到:S=AB·BC=cosα__332sinαsinα=sinαcosα-sinα33__求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值,应先降幂,再利用公式化成Asinωx+φ型的__三角函数求最值__教师引导学生思考:要求当角α取何值时_矩形ABCD的面积S最大_可分两步进行______图1__1找出S与α之间的函数关系__2由得出的函数关系_求S的最大值解在Rt△OBC中_BC=cosα_BC=sinα_在Rt△OAD中___DA__=tan60°=_OA__所以OA=__3DA=BC=sinα333__3__sinα3__所以AB=OB-OA=cosα__设矩形ABCD的面积为S_则S=AB·BC=cosα__32sinαsinα=sinαcosαsinα33__=__113133__sin2α+cos2α-=sin2α+cos2α-226626=__13__sin2α+__-__66__由于0α__133_所以当2α+=_即α=时_S最大=-=362666__

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