小学数学思维训练5-5组合图形的面积(直线图形)

2019-12-1312:57:35 发表评论
摘要小学数学思维训练5-5组合图形的面积直线图形rn小学数学思维训练5-5组合图形的面积(直线图形)__一、知识要点__(一)常用的面积公式及其联系图____(二)几种常见的解题方法__对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。常用的基本方法有:__1直接求面积:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积。例1:求下图阴影部分的面积(单位:厘米)。____解答:__通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形,其面积直接可求为:×2×4=4(平方厘米)__2相加、相减求面积:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加或相减求出所求图形的面积。__例2:正方形甲的边长是5厘米,正方形乙的边长是4厘米,阴影部分的面积是多少?____解答:两个正方形的面积:+=41(平方厘米)__三个空白三角形的面积和:(5+4)×5÷2+4×4÷2+5×(5-4)÷2=33(平方厘米)阴影部分的面积:41-33=8(平方厘米)__3.等量代换求面积:一个图形可以用与它相等的另一个图形替换,如果甲乙大小相等,那么求出乙的大小,就知道甲的大小;两个图形同时增加或减少相同的面积,它们的差不变。__例3:平行四边形ABCD的边BC长8厘米,直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米,平行四边形ABCD的面积是多少______解答:__阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米,分别加上梯形FBCG_得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。__平行四边形ABCD的面积8×6÷2+8=32平方厘米__4借助辅助线求面积:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法求面积。例4:下图中,CA=AB=4厘米_三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米_CD的长是多少______解答__结合已知条件看图,很难有思路,连接DA_就可以发现:三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米_分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。__(4×4÷2-2)×2÷4=3(厘米)____5.用比例知识求面积:利用图形之间的比例关系解题。__例5:一块长方形耕地,它由四个小长方形拼合而成,其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷,图中阴影部分的面积是多少?____解答:__因为阴影部分也是一长方形,所以只要求出它的长、宽是多少就行,为此设它的长、宽分别为a、b,面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、__d____按公式便有:__a×c=15,c×d=18,b×d=30,__因为(a×c)×(b×d)=15×30,__而(a×c)×(b×d)=(a×b)×(c×d)=18×(a×b)__所以a×b=15×30÷18=25__阴影部分的面积为25公顷。__此题可以直接按比例关系来理解。因为(a×c)d×c=a×bd×b_ad=15:18=阴影面积:30,求出阴影面积为15×30÷18=25(公顷)。__6.用“弦图”求面积。三国时期吴国数学家赵爽,在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时,就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系,可使我们得到一些面积问题的解题思路。____例6:从一个正方形的木板上锯下宽05米的一个长方形木条以后,剩下的长方形的面积为5平方米,问锯下的长方形木条的面积等于多少?__解答:__先将题目中的已知条件画成图,我们先看图中下面剩下的那个长方形。____已知它的面积等于5平方米,它的长与宽的差为05米,根据“弦图”的启示,我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个“弦图”。____上图是一个大正方形,它的边长等于长方形的长与宽之和,中间那个小正方形的边长,等于长方形长与宽之差,即等于05米。这样小正方形的面积为:05×05=025(平方米),__那么大正方形的面积为:5×4+025=2025(平方米)。__由于45×45=2025,所以大正方形的边长为45米。__这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为45米,而长与宽的差为05米,使用:__(和+差)÷2=大数,(和-差)÷2=小数这两个公式中的任一个,便能求出长方形的长来,这个长就是锯下的小长方形的长。有了这个小长方形的长,而宽又已知为05米,那么用面积公式便能求出它的面积来。__5×4+05×05=2025(平方米)__因为45×45=2025,所以大正方形边长为45米。__原正方形的边长为:(45+05)÷2=25(米)__锯下一条小长方形的面积为:25×05=125(平方米)。__7.布列简易方程求图形的面积。__例7:ABCD是一长方形,BC=9厘米,CD=6厘米,且三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积是多少?____解答:__从图中可以看出,三角形AEF的面积,等于四等边AECF的面积与三角形ECF面积之差,由于三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等,而长方形ABCD的面积为6×9=54(平方厘米),所以四边形AECF的面积为54÷3=18(平方厘米)。另外只要算出EC、FC的长度,便能求出三角形CEF的面积。__因为三角形ABE、ADF是直角三角形,面积都是18平方厘米。而根据面积公式有18=×AB×BE_18=×AD×DE___AB=6厘米,AD=9厘米,即得两个简易方程:BE=6厘米,DF=4厘米。__EC=BC-BE=9-6=3(厘米)×6×BE=18_×9×DF=18___CF=CD-DF=6-4=2(厘米)__三角形AEF的面积为:18-×EC×FC=18-×3×2=15平方厘米。__8综合使用多种解题方法求面积。__例8三角形ABC的面积为5平方厘米,AE=DE_BD=2DC_求阴影部分的面积。____解答:__如下图,连接DF。____因为AE=DE_△AEF的面积=△EDF的面积,△ABE的面积=△BDE的面积。__因为BD=2DC_所以△BDF的面积=△DCF的面积×2,因此△ABF的面积=△BDF的面积=△DCF的面积×2。所以△ABC的面积=△DCF的面积×5,于是△DCF的面积=5÷5=1(平方厘米)。__阴影部分面积等于△BDF的面积=△DCF的面积×2=1×2=2(平方厘米)__二、习题__1△ABC的面积是48平方厘米。D、E分别是边AB、AC上的中点。△BDE的面积是多少?____解答:__因为AE=EC_△ABE的面积是△ABC面积的一半:48÷2=24(平方厘米)__同理,可以求出△BDE的面积:24÷2=12(平方厘米)。__2正方形ABCD,长BC=8厘米,宽AB=5厘米。ABDE是梯形,△BDE的面积是多少?____解答:__3BCD的面积等于△ABD的面积,等于△BDE的面积(等底等高)。__△BDE的面积8×5÷2=20平方厘米。__4在直角三角形ABC中,D、E分别是AC、AB的中点。如果△AED的面积是30平方厘米,△ABC的面积是多少______解答:__方法1:如下图,△ABD的面积30×2=60平方厘米,△ABC的面积60×2=120平方厘米____方法2:DE是△ABC的中位线,△ABC的底和高分别是三角形△AED的2倍,△ABC的面积是三角形△AED的面积的2×2=4倍,30×2=120平方厘米。__4在△ABC中,BD=2DC_AE=BE。△ABC的面积是18平方厘米,四边形AEDC的面积是多少______解答:__方法1:如下图,连接AD。____△ABD的面积18×=12(平方厘米)__△BDE的面积12÷2=6(平方厘米)__四边形AEDC的面积是18-6=12(平方厘米)__方法2:△BDE的底是△ABC的=,高是△ABC的,面积是△ABC的×=,四边形AEDC的面积是△ABC的1-=,为18×=12(平方厘米)__5AB长8厘米,CD长4厘米,BC长6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米,ED的长是多少?____解答:__三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米,那么梯形ABCD比三角形EBC大18平方厘米。__梯形ABCD的面积:(4+8)×6÷2=36(平方厘米)__三角形EBC的面积:36-18=18(平方厘米)__EC的长为:18×2÷6=6(厘米)__ED的长为:6-4=2(厘米)__6两个同样的直角三角形重叠在一起,求阴影部分的面积。(单位:厘米)____解答:__OC的长:10-4=6(厘米)__阴影梯形的面积等于梯形OEFC的面积:(6+10)×2÷2=16(平方厘米)__7如图a,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB;延长BC至E,使CE=2BC;延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。____解答:__由已知条件无法直接求出三角形DEF的面积。应找到与三角形ABC面积之间的关系。根据BD=AB,CE=2BC,AF=3AC发现,可以分别以BD、CE、AF为底,与三角形ABC作等高三角形。通过观察容易想到连结CD、AE,如图b,这样可以通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系,求得大三角形DEF的面积。____因为三角形ABC与BDC共顶点C,且AB=BD,所以三角形BDC面积=三角形ABC面积=1__因为三角形ABC与ACE共顶点A,且CE=2BC,所以三角形ACE面积=2×三角形ABC面积=2×1=2__因为三角形ACE与AEF共顶点E,且AF=3AC,所以三角形AEF面积=3×三角形ACE面积=3×2=6__因为三角形ADC与AFD共顶点D,且AF=3AC,所以三角形AFD面积=3×三角形ADC面积=3×(1+1)=6__因为三角形BDC与CDE共顶点D,且CE=2BC,所以三角形CDE面积=2×三角形BDC面积=2×1=2__因此,三角形DEF面积=1+2+2+6+6+1=18。__8平行四边形的面积是48平方厘米,E、F分别是BC、CD的中点,求阴影部分面积。____解答:__如下图,__

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