第十二章 小学空间几何教学

2019-12-1313:11:55 发表评论
摘要第十二章小学空间几何教学rn第十二章小学空间几何教学__一、教学目的__通过本章的学习,使学生明确小学数学空间与图形教学的重要作用,了解其主要内容与教学目标,了解儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征,掌握小学数学空间与图形教学的过程与方法。__二、教学重点、难点__重点是小学数学空间与图形教学的过程与方法;难点是小学数学空间与图形教学设计。__三、教学方法__讲授、讨论交流与阅读文献__四、教学内容__本章主要内容:__小学数学空间与图形教学概述__儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征__小学数学空间与图形的教学。__五、教学过程__§81小学数学空间与图形教学概述__空间与图形主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换,让学生掌握相应的基础知识和基本技能,学会解决简单的实际问题,丰富对现实空间及图形的认识,更好地认识和理解人类的生存空间,发展形象思维,培养空间观念和创新意识。__811空间与图形在小学数学中的意义__《标准》对传统的几何内容进行了较大幅度的改革,设置了“空间与图形”的领域,主要分为四个部分:图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置。学习和应用相应的空间与图形的有关知识和数学学习方法,对于学生更好地认识、理解生活空间,更好地生存和发展有着重要的现实意义。__1、培养学生初步的空间观念。空间观念是指对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉,它们是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。发展学生的空间观念是《标准》中的一个重要目标,也是空间与图形学习的核心目标之一。学__生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想像等的基础上,特别是对于低年级的学生,实际观察和操作是发展空间观念的必备环节。__2、提高学生运用知识解决简单实际问题的能力,增强应用数学的意识。几何知识来源于生产劳动,在生活、生产中有广泛的应用。__3、有助于培养学生学习数学的兴趣,促进学生形成科学精神和科学态度。在拼一拼、量一量等大量的实践活动中,可以使学生体验研究数学的乐趣,积累数学活动经验,逐渐形成科学精神和科学态度。__4、培养和提高学生的审美情趣,发展数学直觉。《标准》把数学定义为理性的艺术。数学不仅有利于发展学生的逻辑思维,而且有利于学生的创造才能的发展。__812空间与图形教学的目标__空间与图形主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换,它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。要掌握好这一部分的标准,必须引起对如下几个方面的重视:第一,重视学生实际生活经验对几何概念的形成;第二,发挥几何图形本身的作用,以帮助学生正确形成和理解几何概念;第三,及时将所学概念纳入已有系统,促使学生形成新的认知结构;第四,设计新的解法、一方面要注意结果的正确性,另一方面要注意其根据的条理性。__一1~3年级空间与图形的标准__《标准》对图形的认识、测量、图形与位置三个方面提出了基本要求。__1、图形的认识目标__(1)通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。__(2)辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。__(3)辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。__(4)通过观察、操作,能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。__(5)会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。__(6)结合生活情境认识角,会辨认直角、锐角和钝角。__(7)能对简单几何体和图形进行分类。__本学段的几何初步知识,基本上是属于直观几何。在具体目标的指导下,内容的确定要根据学生的实际生活经验对几何概念形成的影响,发挥几何图形本身的作用帮助学生正确形成和理解几何图形,及时将几何知识纳入已有系统,促使学生形成图形的认识结构。__2、测量目标__(1)结合生活实际,经历用不同方式测量物体长度的过程;在测量活动中,体会建立统一度量单位的重要性。__(2)在实践活动中,体会千米、米、厘米的含义,知道分米、毫米,会进行简单的单位换算,会恰当地选择长度单位。__(3)能估计一些物体的长度,并进行测量。__(4)指出并能测量具体图形的周长,探索并掌握长方形、正方形的周长公式。__(5)结合实例认识面积的含义,能用自选单位估计和测量图形的面积,体会并认识面积单位(平方厘米、平方米、平方千米、公顷),会进行简单的单位换算。__(6)探索并掌握长方形、正方形的面积公式,能估计给定的长方形、正方形的面积。__测量的内容实际上是对图形的计算,学生在图形认识的基础上认知水平有了一定提高。因此,应进一步完善学生的认识结构,将直观图形转化为数学关系,这一过程也是使学生的形象思维强化为抽象思维的过程,对几何图形的“内涵”和“外延”要让学生有一个基本了解。掌握计算中的基本换算公式,并能运用到实际生活事例中去。通过测量、绘图、计算,对已有的图形的认识进一步积累和加工,从而培养学生解决实际问题的能力,逐步发展学生的空间观念。__3、图形与变换的目标__(1)结合实例,感知平移、旋转、对称现象。__(2)能在方格纸上画出一个简单图形水平方向、竖直方向平移后的图形。__(3)通过观察、操作,认识轴对称图形,并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。__4、图形与位置的目标__(1)会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。__(2)在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中,给定一个方向(东、南、西或北)辨认其它七个方向,并能用这些词语描绘物体所在的方向;会看简单的线路图。__通过图形的变换和位置的学习,培养学生的想像能力,能进一步想像出较为复杂的几何图形和几何原型。这种想像能力是进一步学习数学和其他科学技术的必要条件。二4~6年级空间与图形的标准__本学段达到发展空间概念的目的,使学生了解一些简单几何体和平面图形的基本特征,进一步学习图形变换和确定物体位置的方法。具体目标如下。__1、图形的认识目标__(1)了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。__(2)能区分直线、线段和射线。__(3)体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间的距离。__(4)知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。__(5)结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系。__(6)通过观察、操作,认识平行四边形、梯形和圆,会用圆规画圆。__(7)认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。__(8)认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。__(9)通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱和圆锥,认识长方体、正方体和圆柱的展开图。__(10)能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。__2、测量的目标__(1)会用量角器量指定角的度数,会画指定度数的角,会用三角尺画30°,45°,60°,90°角。__(2)利用方格纸或割补等方法,探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。__(3)探索并掌握圆的周长和面积公式。__(4)能用方格纸估计不规则图形的面积。__(5)通过实例,了解体积(包括容积)的意义几度量单位(立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升),会进行单位之间的换算,感受1立方米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。__(6)结合具体情境,探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法。__(7)探索某些实物体积的测量方法。__3、图形与变换的目标__(1)用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴,能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。__(2)能用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小,体会图形的相似。__(3)通过观察实例,认识图形的平移与旋转,能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。__(4)欣赏生活中的图案,灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。__4、图形与位置的目标__(1)了解比例尺;在具体情境中,会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。__(2)能根据方向和距离确定物体的位置。__(3)能描述简单的线路图。__(4)在具体情境中,能用数对来表示位置,并能在方格纸上用数对确定位置。__§82儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征__儿童的几何学习与成人(或更高年级的学生)的几何学习是有区别的。这些区别就构__成了小学数学中几何学习的特殊性。首先表现在学习目标上的不同。其次表现在过程学习上的不同,另外还表现在教学组织策略上的不同。__821儿童几何思维水平的发展过程__儿童的几何(空间)思维水平的发展有明显的阶段性,而这个水平的发展不仅依赖于儿童逐渐的心理成熟,更依赖于教师的教学组织。因为教师可以将某一级水平的学习降低到较低水平(如死记硬背)来组织,所以,了解儿童几何(空间)思维水平的发展对教师组织几何教学是非常有价值的。__(一)儿童空间思维水平发展的阶段性__按照范·西尔夫妇的研究,人的几何思维有一个水平发展的阶段性,而且这种阶段性还表现出以下特点:第一,水平发展基本上是非连续性的,说明几何思维的水平存在着一个不确定的性质差异;第二,思维水平是有层次的,绕过高一层次的教学,可能获得记忆,但不能获得这一层次的理解;第三,前一水平所蕴含的性质会成为下一水平的明确理解;第四,不同的水平层次有自己独特的语言符号系统以及联结这些符号的关系系统,因此,不同水平的推理在理解上是不同的。__从小学生几何思维水平的发展看,大致有以下阶段:__1、水平0__水平0被认为属于前认知阶段。在这个阶段的儿童,能感觉几何形态,但由于其感觉活动的不足,往往只能注意到对象的形状直观特征的某一部分。例如,有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形,但对于同类图形(如正方形和平行四边形)不能正确区分,因此,面对一个给定的图形,他们常常不能重构一个与之性质相同的图形。__对处于水平0的学生来说,他们的思维特征就是依赖对象的具体想像或自己的触觉刺激,建立在“形状相同”这样的等级之上。__2、水平1__水平1被认为属于直观化阶段。在这个阶段的儿童,往往按照外观来识别图形,或者说只能建立一些关于“形状”的抽象,而并不关心图形的几何性质或一类图形的本质特征。他们的思维以知觉为主,因为他们可能会区别一些图形,但并不依据这些图形的性质,而是依据这些图形的外观与形状。因此,当两个图形看起来相同时,他们就会认为这两个图形是相同的。所以,他们在对一群对象进行分类时,更多的注意这些对象“具有什么样的形状”,而不是这些对象具体有什么样的性质特征。__例如,这个阶段的儿童可能会区分矩形和三角形,是因为“矩形像门,而三角形不像门”,但是,他们可能不能区分正方形和菱形,认为他们都是“方的,像手帕”,所以他们是“相等”的。又如,他们无法区分二维和三维的图形,他们会认为“长方形”和“长方体”的形状是一样的。__3、水平2__水平2被认为属于描述分析阶段。在这个阶段的儿童,能通过观察、测量、搭建或绘画等活动,经验地建立图形的性质,并用日常生活的经验用语将这些性质描述出来,从而能将这些性质与一类图形建立联系。这时,图形的视觉特征有可能被单独感知,并且有可能将其联系到某一个文字的标记上,通过对直观特征的反思,从而能通过图形的性质来识别图形并确定图形的特征,还能用构造图形的路径来思考二维图形。例如,这个阶段的学生看到各种形态的三角形,都能准确的识别,而不管这些三角形在形状上有多大的差异。__对于水平1和水平2,莱勒等人曾作过这样的一个测试:向学生呈现如下一些图形,__A__BC__当问及哪个图形最像时,处于水平1的学生会认为是B和C,并说明“B除了里面稍微有些弯以外,它和C看起来是相同的”,可见这样的学生注意到的是图形的直观方面;而有的学生会选择图形A和B,因为他们认为这两个图形都有四条边。显然,这样的思考已经开始倾向于忽视图形形状的直观因素,而凸现图形形状的性质因素。__但是,处于水平2的学生,他们对图形的分类依据一定的自己理解的性质,但不能在不同性质之间构建某种联系,所以往往还不能识别两类图形之间的关系。因此,让他们理解正方形就是特殊的长方形,甚至去理解长方形就是特殊的平行四边形等,可能都是比较困难的。__4、水平3__水平3被认为属于抽象关联阶段。在这个阶段的儿童,已经开始能形成抽象的定义,区分概念的必要条件和充分条件,开始注意到不同图形性质之间的关系,因而能分层次地将图形进行分类,并对这些类别进行非形式化的论证。__同时,这个水平阶段的儿童,开始能依据图形的性质将图形进行组合或分解,他们能进行建立在操作性实验基础上的推论的空间思维活动。例如,他们能从长方形的特征出发,将一个平行四边形,通过自己的操作活动转化为一个长方形,从而推导出平行四边形的面积计算方法。又如,他们能理解任何一个四边形都可以被重组为两个三角形,就能从三角形的内角和是180度推导出四边形的内角和是360度。__此外,随着儿童空间透视能力的发展,他们开始获得不同纬度图形的识别,能知道“长方形”和“长方体”之间的联系与区别,因为他们开始学会依据“面”这个元素来观察、认识三维图形的特征。__(二)儿童空间想像力的发展__加德纳认为,“空间智力的核心是准确感觉直观世界的能力,依靠人最初的感性认识形成变换和作出修正,即使在缺少相关物质刺激的情况下也能重建人们直观经验的方面”。所谓的空间想像能力,是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。一般地说,空间想像能力以良好的空间观念为基础,以形成空间概念为目的。__空间想像能力,其至少包含这样几个要素:第一,依据实物建立模型的能力;第二,依据模型还原实物的能力;第三,依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力;第四,能将模型或实物进行分解与组合的能力。__空间想像能力通常还具有两个明显的特征:首先,它具有较强的抽象性,即需要不断地从实物中抽象出模型;其二,它具有较强的想像性,这是空间想像能力的主要特征,而且几何纬度越高,对想像的要求也就越高。__低年级的儿童,对空间图形的想像还需要依附一定的直观物体的支持,例如,小学的几何学习基本上是从认识“二维图”开始的,但儿童积累的却是大量“三维”的几何经验,因此,他们在对“二维”图形的空间思考的过程中,往往会依附相应的直观的物体(像长方形与长方体形状的物体相对应)。在教学组织中,教师又常常会引导学生去想:日常生活中有哪些物体是长方形的?强化了儿童在平面几何的思考中对直观物体的依赖性。有的学生甚至到了较高年级学习“圆的知识”的时候,在自己的空间思考时还会受到直观物体“圆球”的干扰。__儿童经过一段时间的学习后,到了3-4年级,他们已经开始有可能根据对象的性质特征,构造反映这个性质特征的模型,并以模型来思考。例如,这时的儿童在认识一些平面图形的性质特征时,已经开始不再将图形与相应的直观物体去对应,而只关注图形本身的性质特征。又如,他们在计算三角形面积时,懂得符号S所表示的意义,可见,他们已经开始用符号构造关于三角形的模型,而并不去关注这是什么形状的三角形了。__到了再高些年级,儿童对图形的认识已经开始更多的依赖模型的构建了,例如,他们学习“长方形”、“圆柱体”等的性质特征时,观察对象主要是一些实物模型而并非直观物体,因而摆脱了对象的直观特征,思考的是对象的性质特征。__822儿童空间观念形成与发展过程的基本特点__皮亚杰等人研究认为,空间表象是通过儿童主动和内化行为的逐渐组织而构建起来的。然后导致了运算系统的建立。因此,空间表象不是儿童对空间环境的感性的“读出”,而是来自于环境的、早先的操作活动的积累。可见,对儿童来说,形状的抽象并不是对物体特性的感觉进行抽象的结果,而是儿童协调行为的结果。例如对于“直线”的认识,是儿童通过早期在物体(如桌子)的边的不断的操作,并逐步协调自己的这种操作行为的结果。__总的来看,儿童的空间观念的形成大致经历了这样几个阶段:__具体(实物直观,例如具有相应几何形体的实物)半具体(模像直观,例如已被构__造出来的实物模型)半抽象(图像抽象,例如用图呈示的标准图形)抽象(概念抽象,在大脑中建立对象的本质属性)。__(一)儿童形成空间概念的心理特点__儿童形成空间观念是一个逐步发展的过程,在这个过程中,儿童的空间观念的形成呈现出以下,几个明显的心理特点。__1、对直观的依赖性较强__首先表现在比较容易理解直观的几何图形,尤其是低年级的儿童,他们往往对于一些较为抽象的图形,要形成理解还比较困难。例如,儿童对长方形或正方形等图形性质的理解就比对圆性质的理解较容易,因为前者相对来说更为直观。或者,对“三角形”的性质理解可能就会比对“角”性质的认识更容易些,因为“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。同样的,因为图形的周长可以通过测量或展开,因而对它的理解可能会比对图形的面积的理解更容易些。所以,在教学中,常常会采用让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小,逐步获得对“面积”的理解。__其次还表现在学习中,尤其是在最初的几何学习中,常常将图形的直观原形与图形形状的名称联系起来观察,忽视图形的所有组成部分的特征。例如,有的儿童对“平角”或“周角”的理解就比较困难。__2、用经验来思考和描述性质或概念__低年级的儿童对自己观察到的图形的直观特征,往往是用日常经验的语言来描述的,例如,对于“三角形”的描述,会更多地借用日常经验中的“三角”,因此,常常会说“是尖尖的那样”,或对“正方形”描述为“方块”,并会用这种描述来作为图形的识别图式。虽然这种日常经验有助于儿童逐步建立空间观念和发燕尾服空间思维,但在思考和辨识中也常常容易被直观图形的表象所误导。像对于“菱形”这样的图形,在他们看来,似乎也是一个“方形”,阻碍了他们对图形性质的概括。__需要指出的是,即便教学中运用了较为精确的语言描述,并试图让些低年级的儿童来学会这些描述,但实际上贮存于儿童头脑中的那些图形特征(陈述性知识),可能还会更多的依赖日常生活中更直观的经验的支持。例如,试图让一个一、二年级的儿童完全依靠“对边、“相等”、“直角”、“四边形”等概念来构建关于“长方形性质”的图式知识是比较困难的。__到了三、四年级的学生,他们可能开始学习用更为精确的语言来描述一些图形的性质,但是,他们对几何知识的贮存中还往往会伴有一定的相应的日常经验。例如,对于“垂直”的认识,往往还会伴有“垂线”或“坚直”等的日常经验,因此,有的学生对一些“非坚直”形态的“垂直”识别可能就比较困难。同时,这个阶段的儿童能运用经验加工的方法作出某些预测,并设法去判断自己的这些预测,因此,他们对一些性质的建立,看上去已__经开始运用逻辑的思维,但他们的思维在本质上是经验的。例如,他们能从自己的操作实验来获得三角形内角和是180度这样的事实,但是并不关心构成这个事实的三个角之间的相互依赖关系。__即便到了四、五年级的儿童,他们对于一些较为抽象的图形性质的认识往往还需要日常经验的支持,例如,他们无法运用精确语言(定义)来描述“圆”,对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈(即圆周)上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面,因此,对是否是这个圆的直径(或半径)的识别,更多的可能还需要依赖于图形的直观呈现。__3、空间概念的形成依靠渐进的过程__儿童形成空间概念有一个逐步发展的渐进过程,而这个过程与儿童空间思维水平发展的阶段性相关系,几何教学就必须符合儿童这个认知发展的规律。例如,学龄前儿童可能对于“三角形”已经获得了“三角”这样的初步的感性认识,但并没有真正形成对图形的直观特征的认识。到了低年级,就有可能通过自己的观察或操作,真正建立关于“三角形”形状特征的认识,即能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到了稍高的年级,儿童可能开始去逐渐获得“三角形”在性质方面的认识,并在多层次分类的基础上,去认识不同图形的性质之间的关系。这时,儿童才可能真正建立了关于“三角形”的概念。__可见,教学组织中真正要把握的,首先是要能清楚在儿童的某个年段安排的几何知识的学习目标究竟如何定位?其次才去思考将通过怎样的途径或策略来获得之个学习的目标的实现?__4、容易感知图形的外显性较强的因素__儿童无论是通过操作还是通过观察,对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的属性特征,而忽视那些不太明显的属性特征。例如,儿童在观察正方形时,往往首先注意到的是正方形的边的特征,因为边的特征刺激大于角的特征,所以,就会混淆菱形与正方形的区别。又如,儿童对长方形性质特征的识别就往往比对圆的性质特征的识别要容易,因为长方形的这些性质特征都比较直观和外显,而相对来说,圆的本质特征就比较抽象和内隐。于是,学生对于“有12个工人在装配线上一起工作,他们都将从一固定的箱内取零件,试想零件箱放在什么地方最合适?”这样的问题,就很难马上联想到圆的本质特征来回答。再如,学生对“角”的本质属性的认识,往往会集中在组成角的两条边的长短上,而忽视两条边“张开”的程度,也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边“张开”的程度。__5、对图形性质的关系有一个逐渐理解的过程__在最初的学习中,儿童能通过自己的操作或观察来认识不同对象的特征,但是,对于不同对象间的性质特征关系的理解往往比较困难。例如,要让一年级的儿童去真正理解正方形与长方形之间的关系还是比较困难的。又如,一个二、三年级的儿童,有可能通过观__察和操作来获得各种不同四边形(如长方形、正方形、梯形或平行四边形等)的性质的认识,但是,如果将这些不同的四边形放在一起的时候,他们往往就不容易去概括这些图形之间的性质关系。只有随着儿童空间想像能力的发燕尾服,他们对对象的认识开始更多地去关注构成对象性质的各个组成要素时,他们才开始注意到这些对象的性质之间的关系。例如,对于各种四边形的关系识别,只有当儿童开始从“边”、“角”等因素去观察不同图形的性质特征,形成一个“概念的特征系统”时,才能真正理解这些四边形图形之间的关系,在识别时才会认为一个长方形、一个正方形和一个菱形等都是平行四边形。也只有儿童能形成关于几何概念的“特征系统”时,才有可能完成这样的任务。__6、对图形的识别依赖标准形式__儿童在最初的几何形体的认识中,其参照系主要依赖现实空间,例如,桌面就成为他们确定水平线的一个参照。同时,他们在观察中又往往将注意力集中在对象的那些特征明显或差异较大的属性上,因此,对一些诸如“水平放置”的三角形、“相邻边大小接近”的平行四边形或“上底、下底”分别在上、下的图形(通常称之为“标准图形”)的识别往往比较容易,但是,对于一些诸如“斜置”的三角形或一组垂直、“对角分别上下竖直”的正方形和菱形、“邻边程度差异很大”的长方形或平行四边形等图形(通常称这为“变式图形”)的识别就会感到比较困难。__标准图形虽然有利于儿童通过自己的观察来发现对象的性质特征,但是却不利于儿童对获得的性质特征的概括。因此,教学中多采用变式图形来进一步凸现对象的性质特征,防止儿童只关注对象的形状特征,这种做法是非常有效的。__7、依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的__儿童从观察具体实物,初步获得立体图形的性质表象后,在进一步的学习时,往往需要去面对用平面方式构造的三维图形,这需要一定的平面透视能力。即需要面对看到的平面上的象征性的立体图形,运用再造想像,在头脑中构造相应有模型。这对最初开始学习三维空间几何的儿童来说,是有一定的难度的,它需要一定的训练。例如,有的教师在儿童初次学习“长方体”时,用三根“拉杆天线”,将它们的三个端点按“长”、“宽”、“高”这三个纬度焊接在一起。然后,不断地通过拉动天线在三个方面的长度,让学生在头脑中再造相应的形体的形象,以此来发展儿童的空间想像能力。__(二)儿童空间几何学习的特点__1、经验是儿童几何学习的起点__儿童的几何学习与成人(或更高年级的学生)不同,他们不以几何的公理体系为起点,而以已有的经验为起点。儿童在入学这衫已经有许多几何方面的经验,他们在玩各种积木或玩具的过程中,在选择和使用各种生活用具的过程中,在家庭或活动时所接触到的各种自然现象中,甚至于在玩类以“过家家”的游戏中,无时不刻地在接触着几何知识,无时__

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